Номер 337, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

337. Сократите дробь:

1) $\frac{9 + \sqrt{m}}{m - 81}$;

2) $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}}$;

3) $\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n}$;

4) $\frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}}$.

Для сокращения этих дробей мы будем представлять числа и переменные как квадраты корней (например, $m = (\sqrt{m})^2$) и использовать формулы сокращенного умножения.

1) В знаменателе разложим разность квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$, а $81 = 9^2$:
$\frac{9 + \sqrt{m}}{(\sqrt{m} - 9)(\sqrt{m} + 9)} = \frac{1}{\sqrt{m} - 9}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{m} - 9}$

2) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что все числа делятся на 3 или 5:
$\frac{\sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 5}}{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{6 \cdot 5}} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{6}\sqrt{3} + \sqrt{6}\sqrt{5}}$
$\frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

3) В знаменателе заметим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = \sqrt{5m}$, а $b = \sqrt{7n}$:
$\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m})^2 + 2\sqrt{5m}\sqrt{7n} + (\sqrt{7n})^2} = \frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2} = \frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$

4) В числителе также спрятан квадрат суммы. Заметим, что $25m = (5\sqrt{m})^2$, а $3n^2 = (n\sqrt{3})^2$:
Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot 5\sqrt{m} \cdot n\sqrt{3} = 10n\sqrt{3m}$. Совпадает!
$\frac{(5\sqrt{m} + n\sqrt{3})^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}} = 5\sqrt{m} + n\sqrt{3}$
Ответ: $5\sqrt{m} + n\sqrt{3}$