Номер 337, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

337. Сократите дробь:

1) $\frac{9 + \sqrt{m}}{m - 81}$;

2) $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}}$;

3) $\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n}$;

4) $\frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{9 + \sqrt{m}}{m - 81}$ необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель $m - 81$ можно представить как разность квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $81 = 9^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:
$m - 81 = (\sqrt{m})^2 - 9^2 = (\sqrt{m} - 9)(\sqrt{m} + 9)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{9 + \sqrt{m}}{(\sqrt{m} - 9)(\sqrt{m} + 9)}$
Выражение $(9 + \sqrt{m})$ в числителе и $(\sqrt{m} + 9)$ в знаменателе равны. Сократим их:
$\frac{\cancel{9 + \sqrt{m}}}{(\sqrt{m} - 9)\cancel{(\sqrt{m} + 9)}} = \frac{1}{\sqrt{m} - 9}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{m} - 9}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{45}}{\sqrt{18} + \sqrt{30}}$. Для ее сокращения упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня.
В числителе:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, числитель равен $3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} = 3(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
В знаменателе:
$\sqrt{18} = \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{6}\sqrt{3}$
$\sqrt{30} = \sqrt{6 \cdot 5} = \sqrt{6}\sqrt{5}$
Таким образом, знаменатель равен $\sqrt{6}\sqrt{3} + \sqrt{6}\sqrt{5} = \sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{5})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\frac{3}{\sqrt{6}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{5m + 2\sqrt{35mn} + 7n}$. Знаменатель $5m + 2\sqrt{35mn} + 7n$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
Пусть $a^2 = 5m$, тогда $a = \sqrt{5m}$.
Пусть $b^2 = 7n$, тогда $b = \sqrt{7n}$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{5m} \cdot \sqrt{7n} = 2\sqrt{35mn}$.
Это совпадает со средним членом знаменателя, значит, знаменатель можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$5m + 2\sqrt{35mn} + 7n = (\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}{(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{5m} + \sqrt{7n})$:
$\frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5m} + \sqrt{7n}}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2}{5\sqrt{m} + n\sqrt{3}}$. Числитель $25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2$ является полным квадратом по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$:
Пусть $a^2 = 25m$, тогда $a = \sqrt{25m} = 5\sqrt{m}$.
Пусть $b^2 = 3n^2$, тогда $b = \sqrt{3n^2} = n\sqrt{3}$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2ab = 2 \cdot 5\sqrt{m} \cdot n\sqrt{3} = 10n\sqrt{3m}$.
Средний член совпадает, следовательно, числитель можно представить в виде квадрата суммы:
$25m + 10n\sqrt{3m} + 3n^2 = (5\sqrt{m} + n\sqrt{