Номер 336, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

336. Упростите выражение:

1) $\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a}$;

2) $\frac{5a - 6b}{ab} + \frac{5b - 5c}{bc}$;

3) $\frac{8a + 5b}{5ab^2} - \frac{2a - 7b}{2a^2b}$;

4) $\frac{m^2 + 4n^2}{8m^4n^4} - \frac{3m + 4n}{6m^5n^2}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $8a$ и $4a$ — это $8a$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $2$, так как $8a : 4a = 2$.

$\frac{5a - 3}{8a} + \frac{a + 9}{4a} = \frac{5a - 3}{8a} + \frac{2 \cdot (a + 9)}{2 \cdot 4a} = \frac{5a - 3}{8a} + \frac{2a + 18}{8a}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{(5a - 3) + (2a + 18)}{8a} = \frac{5a - 3 + 2a + 18}{8a}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5a + 2a) + (-3 + 18)}{8a} = \frac{7a + 15}{8a}$

Ответ: $\frac{7a + 15}{8a}$

2) Для сложения дробей $\frac{5a - 6b}{ab} + \frac{5b - 5c}{bc}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $ab$ и $bc$ — это $abc$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $a$.

$\frac{c \cdot (5a - 6b)}{c \cdot ab} + \frac{a \cdot (5b - 5c)}{a \cdot bc} = \frac{5ac - 6bc}{abc} + \frac{5ab - 5ac}{abc}$

Сложим числители:

$\frac{5ac - 6bc + 5ab - 5ac}{abc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $5ac$ и $-5ac$ взаимно уничтожаются.

$\frac{5ab - 6bc}{abc}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$\frac{b(5a - 6c)}{abc} = \frac{5a - 6c}{ac}$

Ответ: $\frac{5a - 6c}{ac}$

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{8a + 5b}{5ab^2} - \frac{2a - 7b}{2a^2b}$, найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $5ab^2$ и $2a^2b$ — это $10a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $2a$, для второй — $5b$.

$\frac{2a \cdot (8a + 5b)}{2a \cdot 5ab^2} - \frac{5b \cdot (2a - 7b)}{5b \cdot 2a^2b} = \frac{16a^2 + 10ab}{10a^2b^2} - \frac{10ab - 35b^2}{10a^2b^2}$

Вычтем числители:

$\frac{(16a^2 + 10ab) - (10ab - 35b^2)}{10a^2b^2} = \frac{16a^2 + 10ab - 10ab + 35b^2}{10a^2b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $10ab$ и $-10ab$ взаимно уничтожаются.

$\frac{16a^2 + 35b^2}{10a^2b^2}$

Ответ: $\frac{16a^2 + 35b^2}{10a^2b^2}$

4) Для вычитания дробей $\frac{m^2 + 4n^2}{8m^4n^4} - \frac{3m + 4n}{6m^5n^2}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $8m^4n^4$ и $6m^5n^2$ — это $24m^5n^4$. Дополнительный множитель для первой дроби — $3m$, для второй — $4n^2$.

$\frac{3m \cdot (m^2 + 4n^2)}{3m \cdot 8m^4n^4} - \frac{4n^2 \cdot (3m + 4n)}{4n^2 \cdot 6m^5n^2} = \frac{3m^3 + 12mn^2}{24m^5n^4} - \frac{12mn^2 + 16n^3}{24m^5n^4}$

Вычтем числители:

$\frac{(3m^3 + 12mn^2) - (12mn^2 + 16n^3)}{24m^5n^4} = \frac{3m^3 + 12mn^2 - 12mn^2 - 16n^3}{24m^5n^4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $12mn^2$ и $-12mn^2$ взаимно уничтожаются.

$\frac{3m^3 - 16n^3}{24m^5n^4}$

Ответ: $\frac{3m^3 - 16n^3}{24m^5n^4}$