Номер 329, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

329. Решите графически уравнение:

1) $(x-1)^2 = \frac{2}{x}$;

2) $1-x^2 = \sqrt{x-1}$.

1) Чтобы решить уравнение $(x-1)^2 = \frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x-1)^2$ и $y = \frac{2}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

График функции $y = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, сдвинутая на 1 единицу вправо.
График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами служат оси координат.

Построим эскизы графиков. Для параболы возьмем контрольные точки, например, $(0, 1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(3, 4)$. Для гиперболы — $(0.5, 4)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$. Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке с координатами $(2, 1)$. Таким образом, абсцисса точки пересечения равна 2.

Проверим, является ли $x=2$ корнем уравнения, подставив это значение в исходное выражение:
Левая часть: $(2-1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{2}{2} = 1$.
Так как $1 = 1$, решение найдено верно.

Ответ: $x=2$.

2) Для графического решения уравнения $1 - x^2 = \sqrt{x-1}$ построим в одной системе координат графики функций $y = 1 - x^2$ и $y = \sqrt{x-1}$. Абсцисса точки их пересечения будет являться решением.

График функции $y = 1-x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.
График функции $y = \sqrt{x-1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(1, 0)$ и идущая вправо-вверх. Область определения этой функции $x \ge 1$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в единственной точке $(1, 0)$. Следовательно, решением уравнения является абсцисса этой точки, $x=1$.

Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $1-1^2 = 0$.
Правая часть: $\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$.
Так как $0=0$, корень $x=1$ найден верно.

Этот результат можно также подтвердить, проанализировав область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение имеет смысл, когда $x-1 \ge 0$ (выражение под корнем) и $1-x^2 \ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным). Решая систему неравенств $\begin{cases} x \ge 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$, получаем единственное возможное значение $x=1$.

Ответ: $x=1$.