Номер 333, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

333. Задайте данную функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$ и постройте её график, используя график функции $y = ax^2$:

1) $y = x^2 - 2x - 8$;

2) $y = -2x^2 + 8x - 3$.

1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x - 8$. Чтобы привести ее к виду $y = a(x - m)^2 + n$, необходимо выделить полный квадрат. Коэффициент $a$ перед $x^2$ равен 1.

Выделяем полный квадрат из выражения, группируя слагаемые с $x$:$y = (x^2 - 2x) - 8$.
Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом $(x-m)^2 = x^2 - 2xm + m^2$, нам нужно добавить и вычесть член $(2/2)^2=1^2=1$:$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 8$.

Теперь сворачиваем полный квадрат и упрощаем выражение:$y = (x - 1)^2 - 9$.

Мы получили функцию в искомом виде, где $a=1$, $m=1$, $n=-9$.

График функции $y = (x - 1)^2 - 9$ — это парабола. Ее можно построить, используя график базовой функции $y = ax^2$, в данном случае $y = x^2$. Для этого необходимо выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть график функции $y = x^2$ на $m=1$ единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвинуть полученный график на $n=-9$ единиц, то есть на 9 единиц вниз вдоль оси Oy.
Вершина параболы окажется в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(1; -9)$.

Ответ: $y = (x - 1)^2 - 9$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 8x - 3$. Чтобы привести ее к виду $y = a(x - m)^2 + n$, сначала вынесем коэффициент $a=-2$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$.

$y = -2(x^2 - 4x) - 3$.

Теперь выделим полный квадрат в выражении, стоящем в скобках. Для этого добавим и вычтем член $(4/2)^2=2^2=4$ внутри скобок:$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$.

Свернем полный квадрат и вынесем константу за скобки:$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 3$.
Раскроем внешние скобки:$y = -2(x - 2)^2 + (-2)(-4) - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3$.

Упрощаем и получаем окончательный вид:$y = -2(x - 2)^2 + 5$.

Мы получили функцию в искомом виде, где $a=-2$, $m=2$, $n=5$.

График функции $y = -2(x - 2)^2 + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a=-2 < 0$. Ее можно построить, используя график базовой функции $y = ax^2$, то есть $y = -2x^2$. Для этого необходимо выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть график функции $y = -2x^2$ на $m=2$ единицы вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвинуть полученный график на $n=5$ единиц вверх вдоль оси Oy.
Вершина параболы окажется в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(2; 5)$.

Ответ: $y = -2(x-2)^2 + 5$.