Номер 338, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

338. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если числитель и знаменатель дроби уменьшить на 1, то её значение уменьшится на $ \frac{1}{12} $. Найдите эту дробь.

Пусть знаменатель искомой дроби равен $x$. Согласно условию, числитель на 1 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x-1$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$.

Если числитель и знаменатель этой дроби уменьшить на 1, то новый числитель станет $(x-1)-1 = x-2$, а новый знаменатель станет $x-1$. Новая дробь будет равна $\frac{x-2}{x-1}$.

По условию задачи, значение исходной дроби больше значения новой дроби на $\frac{1}{12}$. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{x-1}{x} - \frac{x-2}{x-1} = \frac{1}{12}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$. Также отметим, что $x \ne 0$ и $x \ne 1$.

$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} - \frac{x(x-2)}{x(x-1)} = \frac{1}{12}$

$\frac{(x-1)^2 - x(x-2)}{x(x-1)} = \frac{1}{12}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x)}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{12}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:

$x^2 - x = 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку в понятии "обыкновенная дробь" обычно подразумеваются натуральные числа в числителе и знаменателе, мы выбираем положительный корень $x=4$.

Если знаменатель равен 4, то числитель равен $x-1 = 4-1 = 3$.

Искомая дробь — $\frac{3}{4}$.

Проверим найденное решение.

Исходная дробь: $\frac{3}{4}$. Числитель (3) на 1 меньше знаменателя (4). Условие выполняется.

Уменьшаем числитель и знаменатель на 1: получаем дробь $\frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3}$.

Находим разность: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.

Значение дроби уменьшилось на $\frac{1}{12}$. Второе условие также выполняется.

Ответ: $\frac{3}{4}$