Номер 6, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Опишите схему построения графика квадратичной функции.

Графиком квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) является кривая, называемая параболой. Для построения графика удобно использовать следующий алгоритм.

1. Определение направления ветвей параболы

   Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$ при $x^2$.

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

   Ответ: Определено направление ветвей параболы.

2. Нахождение координат вершины параболы

   Вершина параболы — это точка, в которой функция достигает своего минимума (если $a>0$) или максимума (если $a<0$). Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам:

   Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

   Ордината вершины: для нахождения $y_0$ нужно подставить значение $x_0$ в исходное уравнение функции: $y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$.

   Прямая, проходящая через вершину параллельно оси Oy, то есть прямая $x = x_0$, является осью симметрии параболы.

   Ответ: Найдены координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ и уравнение оси симметрии $x=x_0$.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат

   Пересечение с осью ординат (осью Oy):
   Для нахождения этой точки нужно положить $x=0$ в уравнении функции:
   $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.
   Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; c)$.

   Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
   Эти точки (также называемые нулями функции) находятся при условии $y=0$. Для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

   Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

   • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$, которые вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. График пересекает ось Ox в двух точках: $(x_1; 0)$ и $(x_2; 0)$.
   • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень $x = -\frac{b}{2a}$. График касается оси Ox в одной точке — своей вершине.
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. График не пересекает ось Ox и полностью расположен выше (при $a>0$) или ниже (при $a<0$) этой оси.

   Ответ: Найдены точки пересечения графика с осями координат (если они существуют).

4. Нахождение дополнительных точек

   Для большей точности построения можно найти еще несколько точек. В силу симметрии параболы относительно прямой $x=x_0$, для каждой точки с абсциссой $x_0 - k$ найдется симметричная ей точка с абсциссой $x_0 + k$, и ординаты у них будут одинаковы. Например, если мы знаем точку пересечения с осью Oy $(0; c)$, то можем найти симметричную ей точку $(2x_0; c)$. Также можно выбрать любое удобное значение $x$ (например, $x=1$) и вычислить для него соответствующее значение $y$.

   Ответ: Найдено несколько дополнительных точек для уточнения формы параболы.

5. Построение графика

   На координатной плоскости последовательно отмечаются все найденные точки: вершина, точки пересечения с осями координат, дополнительные точки. Затем, учитывая направление ветвей и симметричность, эти точки соединяются плавной линией.

   Ответ: Построен график квадратичной функции — парабола.