Номер 344, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

344. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 12x + 3;$

2) $y = -x^2 + 4x - 6;$

3) $y = 0,3x^2 + 2,4x - 5;$

4) $y = -5x^2 + 10x + 2.$

1) Для параболы $y = x^2 - 12x + 3$

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 3$.
Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находим по формулам:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Для нахождения ординаты вершины подставим значение $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = (6)^2 - 12(6) + 3 = 36 - 72 + 3 = -33$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(6, -33)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(6, -33)$.

2) Для параболы $y = -x^2 + 4x - 6$

Коэффициенты: $a = -1$, $b = 4$, $c = -6$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.
Ордината вершины: $y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 6 = -4 + 8 - 6 = -2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -2)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(2, -2)$.

3) Для параболы $y = 0,3x^2 + 2,4x - 5$

Коэффициенты: $a = 0,3$, $b = 2,4$, $c = -5$.
Так как $a = 0,3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2,4}{2 \cdot 0,3} = -\frac{2,4}{0,6} = -4$.
Ордината вершины: $y_0 = 0,3(-4)^2 + 2,4(-4) - 5 = 0,3 \cdot 16 - 9,6 - 5 = 4,8 - 9,6 - 5 = -9,8$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-4, -9,8)$.
Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-4, -9,8)$.

4) Для параболы $y = -5x^2 + 10x + 2$

Коэффициенты: $a = -5$, $b = 10$, $c = 2$.
Так как $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = -5(1)^2 + 10(1) + 2 = -5 + 10 + 2 = 7$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.
Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(1, 7)$.