Номер 351, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

351. Решите графически уравнение $x^2 - 3x - 1 = -\frac{3}{x}$.

Для графического решения уравнения $x^2 - 3x - 1 = -\frac{3}{x}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 3x - 1$ и $y = -\frac{3}{x}$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

Первая функция, $y = x^2 - 3x - 1$, является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$.$y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) - 1 = 2.25 - 4.5 - 1 = -3.25$.Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5; -3.25)$.Для более точного построения найдем еще несколько точек, принадлежащих параболе:

• при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 3(-1) - 1 = 1 + 3 - 1 = 3$. Точка $(-1; 3)$.
• при $x = 0$, $y = 0^2 - 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• при $x = 1$, $y = 1^2 - 3(1) - 1 = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 3(2) - 1 = -3$. Точка $(2; -3)$.
• при $x = 3$, $y = 3^2 - 3(3) - 1 = -1$. Точка $(3; -1)$.

Вторая функция, $y = -\frac{3}{x}$, является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат.Найдем несколько точек для построения гиперболы:

• при $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
• при $x = -1$, $y = -\frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
• при $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x = 3$, $y = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(3; -1)$.

Теперь построим графики этих двух функций в одной системе координат.

На графике видно, что парабола (синяя линия) и гипербола (красная линия) пересекаются в трех точках (отмечены зеленым). Координаты этих точек: $(-1; 3)$, $(1; -3)$ и $(3; -1)$. Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $-1; 1; 3$.