Номер 353, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

353. Постройте в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и определите количество корней уравнения $f(x) = g(x)$:

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$; $g(x) = -\sqrt{x}$;

2) $f(x) = 4x - 2x^2$; $g(x) = -\frac{4}{x}$.

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$, $g(x) = -\sqrt{x}$

Чтобы определить количество корней уравнения $f(x) = g(x)$, построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найдем количество точек их пересечения.

График функции $y = f(x) = -x^2 + 6x - 7$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$
Вершина находится в точке $(3; 2)$. Вычислим значения функции в нескольких точках: $f(1) = -1+6-7 = -2$; $f(2) = -4+12-7 = 1$; $f(4) = -16+24-7 = 1$; $f(5) = -25+30-7 = -2$.

График функции $y = g(x) = -\sqrt{x}$ — это ветвь параболы $x=y^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$. Вычислим значения функции в нескольких точках: $g(0) = 0$; $g(1) = -1$; $g(4) = -2$; $g(9) = -3$.

Построим оба графика в одной системе координат. Сравнивая значения функций, можно заметить:

• При $x=1$, $f(1)=-2$ и $g(1)=-1$. Значит, $f(1) < g(1)$.
• При $x=2$, $f(2)=1$ и $g(2)=-\sqrt{2} \approx -1.41$. Значит, $f(2) > g(2)$.

Так как на отрезке $[1; 2]$ обе функции непрерывны и $f(1) < g(1)$, а $f(2) > g(2)$, то на интервале $(1; 2)$ есть как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций при $x>4$:

• При $x=5$, $f(5)=-2$ и $g(5)=-\sqrt{5} \approx -2.24$. Значит, $f(5) > g(5)$.
• При $x=6$, $f(6)=-6^2+6 \cdot 6 - 7 = -7$ и $g(6)=-\sqrt{6} \approx -2.45$. Значит, $f(6) < g(6)$.

Так как на отрезке $[5; 6]$ обе функции непрерывны и $f(5) > g(5)$, а $f(6) < g(6)$, то на интервале $(5; 6)$ есть вторая точка пересечения.

При дальнейшем росте $x$ парабола убывает быстрее, чем график корня, поэтому других пересечений не будет. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $f(x) = 4x - 2x^2$, $g(x) = -\frac{4}{x}$

Для решения задачи построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству корней уравнения $f(x) = g(x)$.

Функция $y = f(x) = -2x^2 + 4x$ — квадратичная, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$
$y_0 = f(1) = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 2$
Вершина — точка $(1; 2)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $f(x)=0$: $4x - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x(2-x)=0$. То есть в точках $x=0$ и $x=2$.

Функция $y = g(x) = -\frac{4}{x}$ — обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=-4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Несколько точек для построения: $(1; -4)$, $(2; -2)$, $(4; -1)$, $(-1; 4)$, $(-2; 2)$.

Построим графики и проанализируем их взаимное расположение:

• При $x < 0$: график параболы $f(x)$ находится ниже оси Ox (так как $f(-1)=-6$), то есть $f(x) < 0$. График гиперболы $g(x)$ находится выше оси Ox, то есть $g(x) > 0$. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.
• При $x > 0$: ветвь гиперболы $g(x)$ целиком лежит в IV четверти ($y < 0$). Парабола $f(x)$ пересекает ось Ox в точке $x=2$. Пересечение графиков возможно только при $x > 2$, где обе функции отрицательны.

Сравним значения функций при $x > 2$:
$f(2)=0$, $g(2)=-2$. Здесь $f(2) > g(2)$.
$f(3) = 4(3) - 2(3^2) = 12 - 18 = -6$, а $g(3) = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Здесь $f(3) < g(3)$.

Поскольку на промежутке $(2; 3)$ обе функции непрерывны и их взаимное расположение меняется ($f(2) > g(2)$ и $f(3) < g(3)$), графики пересекаются в одной точке на этом интервале. Это единственная точка пересечения.

Ответ: 1 корень.