Номер 346, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

346. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2x - 8;$

2) $y = x^2 - 2x;$

3) $y = -x^2 + 4x - 5;$

4) $y = 2x^2 - 2x - 4.$

1) $y = x^2 + 2x - 8$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=2$, $c=-8$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$. Точка пересечения — $(0, -8)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -8)$ относительно оси симметрии $x=-1$. Ее абсцисса будет $x = -2$. Точка $(-2, -8)$.
Для построения графика используем найденные точки: вершину $(-1, -9)$, точки пересечения с осями $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, -8)$ и симметричную ей точку $(-2, -8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-1, -9)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -8)$ и ось $Ox$ в точках $(2, 0)$ и $(-4, 0)$.

2) $y = x^2 - 2x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=-2$, $c=0$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Ордината вершины: $y_0 = y(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = 1$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $x^2 - 2x = 0$, или $x(x - 2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Возьмем точку $x = -1$. $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет иметь абсциссу $x=3$. $y(3) = 3^2 - 2(3) = 9-6=3$. Точка $(3, 3)$.
Для построения графика используем точки: вершину $(1, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$, $(2, 0)$ и дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(3, 3)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(1, -1)$, проходящая через начало координат и пересекающая ось $Ox$ в точке $(2, 0)$.

3) $y = -x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1$, $b=4$, $c=-5$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Ордината вершины: $y_0 = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -0^2 + 4(0) - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$ или $x^2 - 4x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось $Ox$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси $x=2$. Ее абсцисса $x = 4$. Точка $(4, -5)$.
Возьмем $x=1$. $y(1) = -1^2 + 4(1) - 5 = -1 + 4 - 5 = -2$. Точка $(1, -2)$.
Симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x=3$. Точка $(3, -2)$.
Для построения используем точки: вершину $(2, -1)$, точку $(0, -5)$ и симметричную ей $(4, -5)$, а также точки $(1, -2)$ и $(3, -2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(2, -1)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -5)$ и не пересекающая ось $Ox$.

4) $y = 2x^2 - 2x - 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-2$, $c=-4$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Ордината вершины: $y_0 = y(0.5) = 2(0.5)^2 - 2(0.5) - 4 = 2(0.25) - 1 - 4 = 0.5 - 5 = -4.5$.
Вершина параболы находится в точке $(0.5, -4.5)$. Ось симметрии — прямая $x = 0.5$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью $Oy$: при $x=0$, $y = 2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4$. Точка пересечения — $(0, -4)$.
С осью $Ox$: при $y=0$, решаем уравнение $2x^2 - 2x - 4 = 0$, или $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Дополнительные точки.
Найдем точку, симметричную точке $(0, -4)$ относительно оси $x=0.5$. Ее абсцисса $x=1$. Точка $(1, -4)$.
Для построения используем точки: вершину $(0.5, -4.5)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(2, 0)$, $(0, -4)$ и симметричную ей точку $(1, -4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0.5, -4.5)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -4)$ и ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(2, 0)$.