Номер 349, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

349. Постройте график функции $f(x) = x - 0.5x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания функции;

3) при каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x) \le 0$.

Для решения задачи сначала построим график функции $f(x) = x - 0,5x^2$.

Это квадратичная функция, которую можно записать в стандартном виде $f(x) = -0,5x^2 + x$. Её график — парабола.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы $(x_в, y_в)$ вычисляется по формулам:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$.

$y_в = f(x_в) = f(1) = 1 - 0,5 \cdot 1^2 = 1 - 0,5 = 0,5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 0,5)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

• С осью OX (при $f(x)=0$):

  $x - 0,5x^2 = 0$

  $x(1 - 0,5x) = 0$

  Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $1 - 0,5x = 0 \implies 0,5x = 1 \implies x_2 = 2$.

  Точки пересечения с осью OX — $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

4. Дополнительные точки. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Найдем несколько точек для более точного построения:

• При $x = -1$: $f(-1) = -1 - 0,5(-1)^2 = -1 - 0,5 = -1,5$. Точка $(-1; -1,5)$.

• При $x = 3$: $f(3) = 3 - 0,5(3)^2 = 3 - 4,5 = -1,5$. Точка $(3; -1,5)$.

На основе полученных данных (вершина в $(1; 0,5)$, точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(2; 0)$, дополнительные точки) мы можем построить график — параболу с ветвями, направленными вниз.

Теперь, используя свойства построенного графика, ответим на вопросы задачи.

1) область значений функции;

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна $0,5$. Следовательно, функция принимает все значения, не превышающие $0,5$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 0,5]$.

2) промежуток возрастания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (слева направо). Для параболы с ветвями вниз это происходит на промежутке от минус бесконечности до абсциссы вершины. Абсцисса вершины $x_в = 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

3) при каких значениях x выполняется неравенство f(x) ≤ 0.

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для тех значений $x$, при которых график функции находится на оси OX или ниже нее. Мы выяснили, что график пересекает ось OX в точках $x = 0$ и $x = 2$. Так как ветви параболы направлены вниз, график находится ниже оси OX на промежутках левее первого корня и правее второго.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.