Номер 347, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

347. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Используя график, найдите:

1) $f(6)$; $f(1)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 8$; $f(x) = -1$; $f(x) = -2$;

3) наибольшее и наименьшее значения функции;

4) область значений функции;

5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -1)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.
- С осью OX (при $f(x)=0$): решаем уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Дополнительные точки. Для более точного построения найдем значения функции в нескольких дополнительных точках, используя ось симметрии $x=3$.
- При $x=1$: $f(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 3$. Точка $(1, 3)$.
- Симметричная ей точка относительно оси $x=3$ будет иметь абсциссу $x=5$. $f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3$. Точка $(5, 3)$.
- Симметричная точке $(0,8)$ будет иметь абсциссу $x=6$. $f(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 + 8 = 36-36+8 = 8$. Точка $(6, 8)$.

На основе этих точек (вершина $(3, -1)$, точки пересечения с осями $(0, 8)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ и дополнительные точки $(1, 3)$, $(5, 3)$, $(6, 8)$) можно построить график параболы.

Используя построенный график, найдем требуемые значения.

1) $f(6); f(1)$

Чтобы найти значение функции при заданном значении аргумента, нужно найти на графике точку с соответствующей абсциссой и определить ее ординату.
Для $x=6$ находим на графике точку $(6, 8)$, следовательно, $f(6)=8$.
Для $x=1$ находим на графике точку $(1, 3)$, следовательно, $f(1)=3$.
Ответ: $f(6) = 8$; $f(1) = 3$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = 8; f(x) = -1; f(x) = -2$

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)=k$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=k$.
- $f(x) = 8$: Прямая $y=8$ пересекает параболу в точках, абсциссы которых равны $0$ и $6$.
- $f(x) = -1$: Прямая $y=-1$ касается параболы в ее вершине. Абсцисса этой точки равна $3$.
- $f(x) = -2$: Прямая $y=-2$ проходит ниже вершины параболы $(3, -1)$ и не имеет с графиком общих точек. Значит, уравнение $f(x)=-2$ не имеет решений.
Ответ: при $f(x)=8$, $x=0$ или $x=6$; при $f(x)=-1$, $x=3$; при $f(x)=-2$ решений нет.

3) наибольшее и наименьшее значения функции

График функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна $-1$.
Поскольку ветви параболы неограниченно уходят вверх, наибольшего значения у функции не существует.
Ответ: наименьшее значение функции равно $-1$; наибольшего значения не существует.

4) область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые принимает функция $f(x)$. Так как наименьшее значение функции равно $-1$, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от $-1$ включительно до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

5) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от нее. Абсцисса вершины $x=3$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.
Функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

6) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Значения функции положительны ($f(x)>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит левее корня $x=2$ и правее корня $x=4$.
Значения функции отрицательны ($f(x)<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит между корнями $x=2$ и $x=4$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$; отрицательные значения при $x \in (2; 4)$.