Номер 354, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

354. Построив в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = \frac{6}{x}$, определите количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$.

Для того чтобы определить количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков и будет являться количеством корней данного уравнения.

Сначала построим график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

• Найдём вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
• Подставив $x_0 = -2$ в уравнение, найдём координату $y_0$: $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
• Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, -3)$.
• Найдём несколько дополнительных точек для построения:
  • при $x=0, y=1$ (точка $(0, 1)$)
  • при $x=-1, y=-2$ (точка $(-1, -2)$)
  • при $x=1, y=6$ (точка $(1, 6)$)
  • Используя ось симметрии $x=-2$, находим симметричные точки: $(-4, 1)$ и $(-3, -2)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Так как числитель 6 положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

• Найдём несколько точек для построения:
  • при $x=1, y=6$ (точка $(1, 6)$)
  • при $x=2, y=3$ (точка $(2, 3)$)
  • при $x=-1, y=-6$ (точка $(-1, -6)$)
  • при $x=-2, y=-3$ (точка $(-2, -3)$)
  • при $x=-3, y=-2$ (точка $(-3, -2)$)

Ниже представлены оба графика, построенные в одной системе координат.

Ответ: Графики функций построены в одной системе координат и представлены на рисунке выше.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y=x^2+4x+1$ и $y=\frac{6}{x}$.

Из построенных графиков видно, что парабола и гипербола пересекаются в трёх точках. Сравнивая таблицы значений, найденные на предыдущем шаге, и анализируя график, мы можем точно определить координаты этих точек:

• $(1, 6)$
• $(-2, -3)$
• $(-3, -2)$

Поскольку графики имеют ровно три точки пересечения, исходное уравнение имеет три действительных корня: $x=1$, $x=-2$ и $x=-3$.

Ответ: 3.