Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

351. Решите графически уравнение $x^2 - 3x - 1 = -\frac{3}{x}$.

Для графического решения уравнения $x^2 - 3x - 1 = -\frac{3}{x}$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 3x - 1$ и $y = -\frac{3}{x}$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

Первая функция, $y = x^2 - 3x - 1$, является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).Найдем координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$.$y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) - 1 = 2.25 - 4.5 - 1 = -3.25$.Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5; -3.25)$.Для более точного построения найдем еще несколько точек, принадлежащих параболе:

• при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 3(-1) - 1 = 1 + 3 - 1 = 3$. Точка $(-1; 3)$.
• при $x = 0$, $y = 0^2 - 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• при $x = 1$, $y = 1^2 - 3(1) - 1 = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 3(2) - 1 = -3$. Точка $(2; -3)$.
• при $x = 3$, $y = 3^2 - 3(3) - 1 = -1$. Точка $(3; -1)$.

Вторая функция, $y = -\frac{3}{x}$, является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат.Найдем несколько точек для построения гиперболы:

• при $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
• при $x = -1$, $y = -\frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
• при $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x = 3$, $y = -\frac{3}{3} = -1$. Точка $(3; -1)$.

Теперь построим графики этих двух функций в одной системе координат.

На графике видно, что парабола (синяя линия) и гипербола (красная линия) пересекаются в трех точках (отмечены зеленым). Координаты этих точек: $(-1; 3)$, $(1; -3)$ и $(3; -1)$. Решениями уравнения являются абсциссы этих точек.

Ответ: $-1; 1; 3$.

352. Решите графически уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + x + 2 = \sqrt{x}$.

Для того чтобы решить уравнение $-\frac{1}{4}x^2 + x + 2 = \sqrt{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 2$ и $y = \sqrt{x}$. Решением уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 2$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2$.
$y_v = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 4 = -1 + 4 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения, учитывая, что область определения исходного уравнения $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y = -\frac{1}{4}(0)^2 + 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x=1$, $y = -\frac{1}{4}(1)^2 + 1 + 2 = 2.75$. Точка $(1, 2.75)$.
• При $x=4$, $y = -\frac{1}{4}(4)^2 + 4 + 2 = -4 + 6 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

Это стандартная функция квадратного корня. Её график — ветвь параболы, симметричная параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$. Область определения: $x \ge 0$.

Ключевые точки для построения:

• При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=9$, $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9, 3)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке. Из вычисленных ранее точек для обоих графиков видно, что точка $(4, 2)$ является общей.

Проверим это, подставив $x=4$ в исходное уравнение:

Левая часть: $-\frac{1}{4}(4)^2 + 4 + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 + 6 = -4 + 6 = 2$.
Правая часть: $\sqrt{4} = 2$.

Поскольку $2=2$, равенство верное. Абсцисса точки пересечения $x=4$ является решением уравнения. Так как при $x > 4$ парабола убывает, а график корня возрастает, других точек пересечения нет.

Ответ: $x=4$.

353. Постройте в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ и определите количество корней уравнения $f(x) = g(x)$:

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$; $g(x) = -\sqrt{x}$;

2) $f(x) = 4x - 2x^2$; $g(x) = -\frac{4}{x}$.

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 7$, $g(x) = -\sqrt{x}$

Чтобы определить количество корней уравнения $f(x) = g(x)$, построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найдем количество точек их пересечения.

График функции $y = f(x) = -x^2 + 6x - 7$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$
Вершина находится в точке $(3; 2)$. Вычислим значения функции в нескольких точках: $f(1) = -1+6-7 = -2$; $f(2) = -4+12-7 = 1$; $f(4) = -16+24-7 = 1$; $f(5) = -25+30-7 = -2$.

График функции $y = g(x) = -\sqrt{x}$ — это ветвь параболы $x=y^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$. Вычислим значения функции в нескольких точках: $g(0) = 0$; $g(1) = -1$; $g(4) = -2$; $g(9) = -3$.

Построим оба графика в одной системе координат. Сравнивая значения функций, можно заметить:

• При $x=1$, $f(1)=-2$ и $g(1)=-1$. Значит, $f(1) < g(1)$.
• При $x=2$, $f(2)=1$ и $g(2)=-\sqrt{2} \approx -1.41$. Значит, $f(2) > g(2)$.

Так как на отрезке $[1; 2]$ обе функции непрерывны и $f(1) < g(1)$, а $f(2) > g(2)$, то на интервале $(1; 2)$ есть как минимум одна точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций при $x>4$:

• При $x=5$, $f(5)=-2$ и $g(5)=-\sqrt{5} \approx -2.24$. Значит, $f(5) > g(5)$.
• При $x=6$, $f(6)=-6^2+6 \cdot 6 - 7 = -7$ и $g(6)=-\sqrt{6} \approx -2.45$. Значит, $f(6) < g(6)$.

Так как на отрезке $[5; 6]$ обе функции непрерывны и $f(5) > g(5)$, а $f(6) < g(6)$, то на интервале $(5; 6)$ есть вторая точка пересечения.

При дальнейшем росте $x$ парабола убывает быстрее, чем график корня, поэтому других пересечений не будет. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) $f(x) = 4x - 2x^2$, $g(x) = -\frac{4}{x}$

Для решения задачи построим графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству корней уравнения $f(x) = g(x)$.

Функция $y = f(x) = -2x^2 + 4x$ — квадратичная, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Найдем вершину параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$
$y_0 = f(1) = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 2$
Вершина — точка $(1; 2)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $f(x)=0$: $4x - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x(2-x)=0$. То есть в точках $x=0$ и $x=2$.

Функция $y = g(x) = -\frac{4}{x}$ — обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=-4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Несколько точек для построения: $(1; -4)$, $(2; -2)$, $(4; -1)$, $(-1; 4)$, $(-2; 2)$.

Построим графики и проанализируем их взаимное расположение:

• При $x < 0$: график параболы $f(x)$ находится ниже оси Ox (так как $f(-1)=-6$), то есть $f(x) < 0$. График гиперболы $g(x)$ находится выше оси Ox, то есть $g(x) > 0$. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.
• При $x > 0$: ветвь гиперболы $g(x)$ целиком лежит в IV четверти ($y < 0$). Парабола $f(x)$ пересекает ось Ox в точке $x=2$. Пересечение графиков возможно только при $x > 2$, где обе функции отрицательны.

Сравним значения функций при $x > 2$:
$f(2)=0$, $g(2)=-2$. Здесь $f(2) > g(2)$.
$f(3) = 4(3) - 2(3^2) = 12 - 18 = -6$, а $g(3) = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Здесь $f(3) < g(3)$.

Поскольку на промежутке $(2; 3)$ обе функции непрерывны и их взаимное расположение меняется ($f(2) > g(2)$ и $f(3) < g(3)$), графики пересекаются в одной точке на этом интервале. Это единственная точка пересечения.

Ответ: 1 корень.

354. Построив в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = \frac{6}{x}$, определите количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$.

Для того чтобы определить количество корней уравнения $x^2 + 4x + 1 = \frac{6}{x}$, необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^2 + 4x + 1$ и $y = \frac{6}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков и будет являться количеством корней данного уравнения.

Сначала построим график функции $y = x^2 + 4x + 1$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх.

• Найдём вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
• Подставив $x_0 = -2$ в уравнение, найдём координату $y_0$: $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
• Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, -3)$.
• Найдём несколько дополнительных точек для построения:
  • при $x=0, y=1$ (точка $(0, 1)$)
  • при $x=-1, y=-2$ (точка $(-1, -2)$)
  • при $x=1, y=6$ (точка $(1, 6)$)
  • Используя ось симметрии $x=-2$, находим симметричные точки: $(-4, 1)$ и $(-3, -2)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Так как числитель 6 положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

• Найдём несколько точек для построения:
  • при $x=1, y=6$ (точка $(1, 6)$)
  • при $x=2, y=3$ (точка $(2, 3)$)
  • при $x=-1, y=-6$ (точка $(-1, -6)$)
  • при $x=-2, y=-3$ (точка $(-2, -3)$)
  • при $x=-3, y=-2$ (точка $(-3, -2)$)

Ниже представлены оба графика, построенные в одной системе координат.

Ответ: Графики функций построены в одной системе координат и представлены на рисунке выше.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y=x^2+4x+1$ и $y=\frac{6}{x}$.

Из построенных графиков видно, что парабола и гипербола пересекаются в трёх точках. Сравнивая таблицы значений, найденные на предыдущем шаге, и анализируя график, мы можем точно определить координаты этих точек:

• $(1, 6)$
• $(-2, -3)$
• $(-3, -2)$

Поскольку графики имеют ровно три точки пересечения, исходное уравнение имеет три действительных корня: $x=1$, $x=-2$ и $x=-3$.

Ответ: 3.

355. Найдите координаты точки параболы $y = -x^2 + 9x + 9$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

Дана парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + 9x + 9$. Необходимо найти координаты точек на этой параболе, удовлетворяющих дополнительным условиям.

1) абсцисса и ордината равны;

Если абсцисса $(x)$ и ордината $(y)$ точки равны, то выполняется условие $y = x$.
Чтобы найти координаты такой точки, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения условия:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:
$x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 9x - 9 = 0$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 8$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -9$
Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие ординаты. Так как по условию $y = x$, то:
При $x_1 = 9$, $y_1 = 9$. Первая точка имеет координаты $(9, 9)$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -1$. Вторая точка имеет координаты $(-1, -1)$.

Ответ: $(9, 9)$ и $(-1, -1)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 25.

Если сумма абсциссы $(x)$ и ординаты $(y)$ равна 25, то выполняется условие $x + y = 25$.
Выразим $y$ из этого условия: $y = 25 - x$.
Снова составим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = -x^2 + 9x + 9 \\ y = 25 - x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$25 - x = -x^2 + 9x + 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 9x - x + 25 - 9 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 10$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 16$
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.
Теперь найдем соответствующие ординаты, используя соотношение $y = 25 - x$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 25 - 2 = 23$. Первая точка имеет координаты $(2, 23)$.
При $x_2 = 8$, $y_2 = 25 - 8 = 17$. Вторая точка имеет координаты $(8, 17)$.

Ответ: $(2, 23)$ и $(8, 17)$.

356. Найдите координаты точки параболы $y = 2x^2 - 3x + 6$, у которой ордината на 12 больше абсциссы.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x, y)$.

По условию задачи, эта точка принадлежит параболе $y = 2x^2 - 3x + 6$.

Также по условию, ордината точки ($y$) на 12 больше ее абсциссы ($x$). Это можно записать в виде уравнения: $y = x + 12$.

Поскольку координаты точки должны удовлетворять обоим условиям, мы можем составить и решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = 2x^2 - 3x + 6 \\ y = x + 12 \end{cases} $$

Для решения системы приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$): $$2x^2 - 3x + 6 = x + 12$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $$2x^2 - 3x - x + 6 - 12 = 0$$ $$2x^2 - 4x - 6 = 0$$

Мы можем упростить это уравнение, разделив все его члены на 2: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Теперь найдем корни получившегося квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Мы получили две возможные абсциссы. Теперь для каждой из них найдем соответствующую ординату, используя уравнение $y = x + 12$.

1. Для $x_1 = 3$: $$y_1 = 3 + 12 = 15$$ Следовательно, первая точка имеет координаты $(3, 15)$.

2. Для $x_2 = -1$: $$y_2 = -1 + 12 = 11$$ Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-1, 11)$.

Таким образом, существуют две точки на параболе, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: $(3, 15)$ и $(-1, 11)$.

357. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3;$

2) $f(x) = - \frac{1}{5}x^2 + 2x - 6;$

3) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2;$

4) $f(x) = 7x^2 + 21x.$

Для нахождения области значений и промежутков возрастания/убывания квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ необходимо определить направление ветвей параболы и найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = f(x_0)$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина является точкой минимума.
  • Область значений: $[y_0; +\infty)$.
  • Функция убывает на $(-\infty; x_0]$.
  • Функция возрастает на $[x_0; +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина является точкой максимума.
  • Область значений: $(-\infty; y_0]$.
  • Функция возрастает на $(-\infty; x_0]$.
  • Функция убывает на $[x_0; +\infty)$.

1) $f(x) = 4x^2 - 8x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 4, b = -8, c = 3$. Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = 1$.

$y_0 = f(1) = 4(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$. Это точка минимума функции.

Область значений функции: $E(f) = [-1; +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty; 1]$.

Промежуток возрастания: $[1; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-1; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 6$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{1}{5}, b = 2, c = -6$. Так как $a = -\frac{1}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = -\frac{2}{-\frac{2}{5}} = 5$.

$y_0 = f(5) = -\frac{1}{5}(5)^2 + 2(5) - 6 = -5 + 10 - 6 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(5; -1)$. Это точка максимума функции.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty; -1]$.

Промежуток возрастания: $(-\infty; 5]$.

Промежуток убывания: $[5; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; -1]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 5]$ и убывает на промежутке $[5; +\infty)$.

3) $f(x) = 4 - 12x - 0,3x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,3x^2 - 12x + 4$. Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -0,3, b = -12, c = 4$. Так как $a = -0,3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-0,3)} = \frac{12}{-0,6} = -20$.

$y_0 = f(-20) = -0,3(-20)^2 - 12(-20) + 4 = -0,3 \cdot 400 + 240 + 4 = -120 + 244 = 124$.

Вершина параболы находится в точке $(-20; 124)$. Это точка максимума функции.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty; 124]$.

Промежуток возрастания: $(-\infty; -20]$.

Промежуток убывания: $[-20; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; 124]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; -20]$ и убывает на промежутке $[-20; +\infty)$.

4) $f(x) = 7x^2 + 21x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 7, b = 21, c = 0$. Так как $a = 7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{21}{2 \cdot 7} = -\frac{21}{14} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

$y_0 = f(-1,5) = 7(-1,5)^2 + 21(-1,5) = 7(2,25) - 31,5 = 15,75 - 31,5 = -15,75$.

Вершина параболы находится в точке $(-1,5; -15,75)$. Это точка минимума функции.

Область значений функции: $E(f) = [-15,75; +\infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty; -1,5]$.

Промежуток возрастания: $[-1,5; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-15,75; +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-1,5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1,5]$.

358. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^2 - 12x + 8;$

2) $f(x) = 9 + 8x - 0,2x^2.$

1) f(x) = 2x² - 12x + 8

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = -12$, $c = 8$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая находится в вершине параболы.

Для нахождения области значений и промежутков монотонности найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Ордината вершины $y_в$ является минимальным значением функции. Найдем ее, подставив $x_в$ в уравнение функции: $y_в = f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 8 = 2 \cdot 9 - 36 + 8 = 18 - 36 + 8 = -10$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; -10)$.

Область значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ее наименьшее значение равно ординате вершины $y_в = -10$, то область значений функции — это промежуток от -10 (включительно) до $+\infty$. $E(f) = [-10; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Квадратичная функция с ветвями вверх убывает на промежутке до своей вершины и возрастает после. Промежуток убывания: $x \in (-\infty; 3]$. Промежуток возрастания: $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-10; +\infty)$; функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

2) f(x) = 9 + 8x - 0,2x²

Перепишем функцию в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$: $f(x) = -0,2x^2 + 8x + 9$. Это квадратичная функция, где $a = -0,2$, $b = 8$, $c = 9$. Графиком является парабола. Так как старший коэффициент $a = -0,2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{8}{-0,4} = 20$.

Ордината вершины $y_в$ является максимальным значением функции. Найдем ее, подставив $x_в$ в уравнение функции: $y_в = f(20) = -0,2(20)^2 + 8(20) + 9 = -0,2 \cdot 400 + 160 + 9 = -80 + 160 + 9 = 89$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(20; 89)$.

Область значений: Так как ветви параболы направлены вниз, а ее наибольшее значение равно ординате вершины $y_в = 89$, то область значений функции — это промежуток от $-\infty$ до 89 (включительно). $E(f) = (-\infty; 89]$.

Промежутки возрастания и убывания: Квадратичная функция с ветвями вниз возрастает на промежутке до своей вершины и убывает после. Промежуток возрастания: $x \in (-\infty; 20]$. Промежуток убывания: $x \in [20; +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty; 89]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; 20]$ и убывает на промежутке $[20; +\infty)$.

359. Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

$y = \begin{cases} 3 - x, \text{ если } x \le -2, \\ x^2 - 2x - 3, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -3, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для решения задачи проанализируем и построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

Построение графика данной функции

1. На промежутке $x \le -2$ функция задана формулой $y = 3 - x$. Это линейная функция, её график — луч. Найдём координаты конечной точки этого луча: при $x = -2$ имеем $y = 3 - (-2) = 5$. Точка $(-2, 5)$ принадлежит графику. Для построения луча возьмем еще одну контрольную точку, например, при $x = -4$, $y = 3 - (-4) = 7$. Строим луч, проходящий через точки $(-4, 7)$ и $(-2, 5)$.
2. На промежутке $-2 < x < 2$ функция задана формулой $y = x^2 - 2x - 3$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_0 = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -4)$. Найдём значения функции на концах интервала (эти точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое): при $x \to -2$ значение $y \to (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 5$; при $x \to 2$ значение $y \to 2^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$. Строим дугу параболы с вершиной в $(1, -4)$, которая соединяет точки $(-2, 5)$ и $(2, -3)$.
3. На промежутке $x \ge 2$ функция задана формулой $y = -3$. Это постоянная функция, её график — горизонтальный луч, начинающийся в точке $(2, -3)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.
Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем график исходной функции. В точках "стыка" $x=-2$ и $x=2$ значения совпадают, поэтому график является непрерывной линией.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$. Анализируя построенный график, мы видим, что наименьшее значение функция достигает в вершине параболы, где $y = -4$. На луче при $x \le -2$ значения $y$ изменяются в промежутке $[5, +\infty)$. На участке параболы при $-2 < x < 2$ значения $y$ изменяются в промежутке $[-4, 5)$. На луче при $x \ge 2$ значение $y$ постоянно и равно $-3$. Объединяя все эти множества значений $[-4, 5) \cup [5, +\infty)$, получаем, что функция принимает все значения от $-4$ включительно и до бесконечности.
Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

По построенному графику определим промежутки монотонности функции.
- Функция убывает на первом участке ($y=3-x$, где $x \le -2$) и на части второго участка до вершины параболы ($x \in (-2, 1]$). Так как в точке $x=-2$ функция непрерывна, а слева и справа от неё убывает, мы можем объединить эти промежутки. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Функция возрастает на части параболы от её вершины ($x=1$) до правого конца интервала ($x=2$). Таким образом, функция возрастает на промежутке $[1, 2]$.
- На промежутке $[2, +\infty)$ функция $y=-3$ является постоянной, то есть не возрастает и не убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, 2]$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

360. Постройте график данной функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

$y = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0, \\ 4x - x^2, \text{ если } 0 < x < 5, \\ x - 10, \text{ если } x \ge 5. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для ее анализа и построения графика рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

Построение графика

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам области определения:

• На промежутке $(-\infty, 0]$ график совпадает с графиком функции $y = x$. Это луч, являющийся биссектрисой третьего координатного угла, с началом в точке $(0, 0)$.
• На интервале $(0, 5)$ график представляет собой часть параболы $y = 4x - x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Найдем координаты вершины:
  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.
  $y_в = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.
  Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. На концах интервала функция стремится к значениям $y(0) = 0$ и $y(5) = 4(5) - 5^2 = -5$. Таким образом, эта часть графика — дуга параболы, соединяющая "выколотые" точки $(0, 0)$ и $(5, -5)$ и проходящая через вершину $(2, 4)$.
• На промежутке $[5, +\infty)$ график совпадает с прямой $y = x - 10$. Это луч, начинающийся в точке $(5, -5)$ (поскольку $y(5) = 5 - 10 = -5$) и идущий вправо и вверх.

Объединяя эти три части, получаем итоговый график. Функция непрерывна на всей числовой оси, так как значения в точках "стыковки" $x=0$ и $x=5$ совпадают.

Область значений

Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Найдем его, проанализировав каждый участок:

• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ принимает все значения из $(-\infty, 0]$.
• На интервале $(0, 5)$, где $y=4x-x^2$, функция сначала возрастает от $0$ до $4$ (в вершине), а затем убывает от $4$ до $-5$. Значения на этом участке принадлежат промежутку $(-5, 4]$.
• На промежутке $[5, +\infty)$, где $y=x-10$, функция принимает все значения из $[-5, +\infty)$.

Объединение всех этих множеств значений $(-\infty, 0] \cup (-5, 4] \cup [-5, +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

Определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает:

• На $(-\infty, 0]$ функция $y=x$ возрастает (угловой коэффициент $k=1 > 0$).
• На $(0, 5)$ имеем параболу $y=4x-x^2$ с вершиной в $x=2$. Следовательно, функция возрастает на $(0, 2]$ и убывает на $[2, 5)$.
• На $[5, +\infty)$ функция $y=x-10$ возрастает (угловой коэффициент $k=1 > 0$).

Учитывая непрерывность функции, объединяем промежутки с одинаковым поведением:

• Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и на $(0, 2]$. Объединенный промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$.
• Также функция возрастает на $[5, +\infty)$.
• Функция убывает на $[2, 5]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 2]$ и $[5, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[2, 5]$.

361. Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, которая:

1) убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$;

2) возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.

1) убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$

Общий вид квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Графиком является парабола. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) квадратичной функции определяются знаком старшего коэффициента $a$ и абсциссой вершины параболы $x_в = -\frac{b}{2a}$.

Согласно условию, функция сначала убывает, а затем возрастает. Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть положительным ($a > 0$).

Точка, в которой происходит смена убывания на возрастание, является вершиной параболы. Из условия следует, что абсцисса вершины $x_в = 1$.

Удобно использовать формулу квадратичной функции, записанную через координаты вершины $(x_в; y_в)$: $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Подставим известные нам значения: $x_в = 1$ и выберем простейшие значения для других параметров, удовлетворяющие условиям. Пусть $a = 1$ (так как $a > 0$) и $y_в = 0$ (ордината вершины не влияет на промежутки монотонности).

Тогда функция примет вид: $y = 1 \cdot (x - 1)^2 + 0$, что упрощается до $y = (x - 1)^2$.

Раскрыв скобки, можно получить другой вид этой же функции: $y = x^2 - 2x + 1$. Любая из этих формул является правильным ответом.

Ответ: $y = (x - 1)^2$.

2) возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$

В этом случае функция сначала возрастает, а затем убывает. Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).

Точка смены возрастания на убывание — это вершина параболы. Из условия следует, что абсцисса вершины $x_в = -2$.

Снова используем формулу $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Подставим $x_в = -2$. Выберем простейшее значение для $a$, удовлетворяющее условию $a < 0$, например, $a = -1$. Для $y_в$ также выберем простейшее значение, $y_в = 0$.

Функция примет вид: $y = -1 \cdot (x - (-2))^2 + 0$, что равносильно $y = -(x + 2)^2$.

Если раскрыть скобки, получим: $y = -(x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 4x - 4$. Эта формула также является правильным ответом.

Ответ: $y = -(x + 2)^2$.