Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

328. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 58.

Рис. 58

a

б

а Общий вид уравнения параболы, заданный в условии, — $y = a(x + m)^2 + n$. Координаты вершины такой параболы равны $(-m, n)$. Из графика для параболы 'а' видно, что ее вершина находится в точке $(3, -5)$. Приравнивая координаты, получаем: $-m = 3$ и $n = -5$. Отсюда следует, что $m = -3$ и $n = -5$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 3)^2 - 5$. Чтобы найти коэффициент $a$, возьмем на графике еще одну точку, принадлежащую параболе. Например, точка с координатами $(1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a(1 - 3)^2 - 5$. Упростим выражение: $-1 = a(-2)^2 - 5$, что дает $-1 = 4a - 5$. Решая это линейное уравнение, получаем $4a = 4$, следовательно, $a = 1$. Итоговая формула функции: $y = (x - 3)^2 - 5$.
Ответ: $y=(x-3)^2-5$.

б Для параболы 'б' действуем аналогично. Координаты ее вершины, как видно из графика, равны $(-6, 7)$. Из общей формулы $y = a(x + m)^2 + n$ следует, что вершина находится в точке $(-m, n)$. Таким образом, $-m = -6$ и $n = 7$, что означает $m = 6$ и $n = 7$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x + 6)^2 + 7$. Ветви параболы направлены вниз, значит, коэффициент $a$ должен быть отрицательным. Для его нахождения выберем на графике еще одну точку, например, $(-5, 6)$. Подставим ее координаты в уравнение: $6 = a(-5 + 6)^2 + 7$. Упрощаем: $6 = a(1)^2 + 7$, что дает $6 = a + 7$. Отсюда находим $a = -1$. Итоговая формула функции: $y = -(x + 6)^2 + 7$.
Ответ: $y=-(x+6)^2+7$.

329. Решите графически уравнение:

1) $(x-1)^2 = \frac{2}{x}$;

2) $1-x^2 = \sqrt{x-1}$.

1) Чтобы решить уравнение $(x-1)^2 = \frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x-1)^2$ и $y = \frac{2}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

График функции $y = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, сдвинутая на 1 единицу вправо.
График функции $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами служат оси координат.

Построим эскизы графиков. Для параболы возьмем контрольные точки, например, $(0, 1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(3, 4)$. Для гиперболы — $(0.5, 4)$, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(4, 0.5)$. Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке с координатами $(2, 1)$. Таким образом, абсцисса точки пересечения равна 2.

Проверим, является ли $x=2$ корнем уравнения, подставив это значение в исходное выражение:
Левая часть: $(2-1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{2}{2} = 1$.
Так как $1 = 1$, решение найдено верно.

Ответ: $x=2$.

2) Для графического решения уравнения $1 - x^2 = \sqrt{x-1}$ построим в одной системе координат графики функций $y = 1 - x^2$ и $y = \sqrt{x-1}$. Абсцисса точки их пересечения будет являться решением.

График функции $y = 1-x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.
График функции $y = \sqrt{x-1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(1, 0)$ и идущая вправо-вверх. Область определения этой функции $x \ge 1$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в единственной точке $(1, 0)$. Следовательно, решением уравнения является абсцисса этой точки, $x=1$.

Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $1-1^2 = 0$.
Правая часть: $\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$.
Так как $0=0$, корень $x=1$ найден верно.

Этот результат можно также подтвердить, проанализировав область допустимых значений (ОДЗ). Уравнение имеет смысл, когда $x-1 \ge 0$ (выражение под корнем) и $1-x^2 \ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным). Решая систему неравенств $\begin{cases} x \ge 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$, получаем единственное возможное значение $x=1$.

Ответ: $x=1$.

330. Решите графически уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2$.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{3}{x} = \sqrt{x} + 2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения: $y = \frac{3}{x}$ и $y = \sqrt{x} + 2$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков и будет являться решением исходного уравнения.

Сначала построим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения функции $x \neq 0$. Так как вторая функция $y = \sqrt{x} + 2$ определена только для $x \ge 0$, нас интересует только та ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти (при $x > 0$). Составим таблицу значений для этой ветви:

• при $x = 1$, $y = 3$;
• при $x = 3$, $y = 1$;
• при $x = 0.5$, $y = 6$.

Теперь построим график функции $y = \sqrt{x} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Составим таблицу значений для этого графика:

• при $x = 0$, $y = \sqrt{0} + 2 = 2$;
• при $x = 1$, $y = \sqrt{1} + 2 = 3$;
• при $x = 4$, $y = \sqrt{4} + 2 = 4$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости. График $y = \frac{3}{x}$ (для $x > 0$) является кривой, проходящей через точки $(0.5, 6)$, $(1, 3)$, $(3, 1)$. График $y = \sqrt{x} + 2$ — это кривая, выходящая из точки $(0, 2)$ и проходящая через точки $(1, 3)$ и $(4, 4)$.

Из построения и анализа таблиц значений видно, что графики пересекаются в одной точке с координатами $(1, 3)$.

Абсцисса точки пересечения $x=1$ и является решением уравнения. Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$\frac{3}{1} = \sqrt{1} + 2$

$3 = 1 + 2$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

331. Прямые $m$ и $n$, изображённые на рисунке 59, параллельны, причём прямая $n$ является графиком функции $y = f(x)$. Какое из утверждений верно:

1) прямая $m$ является графиком функции $y = f(x) + b$;

2) прямая $m$ является графиком функции $y = f(x - a)$?

Рис. 59

По условию задачи, прямая $n$ является графиком функции $y = f(x)$. Так как прямая $n$ проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$, где $k$ — это угловой коэффициент. Таким образом, $f(x) = kx$.

Прямая $m$ параллельна прямой $n$, а значит, имеет тот же угловой коэффициент $k$. Теперь необходимо проверить, какое из предложенных уравнений верно описывает прямую $m$.

1) прямая m является графиком функции $y = f(x) + b$;
Данное уравнение описывает преобразование графика $y=f(x)$ путем его сдвига на $b$ единиц вдоль оси $y$. Подставив $f(x)=kx$, получим уравнение для прямой $m$: $y = kx + b$. Это стандартный вид уравнения прямой, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$. На рисунке 59 показано, что прямая $m$ пересекает ось $y$ как раз в точке $(0, b)$. Следовательно, данное утверждение верно.

2) прямая m является графиком функции $y = f(x - a)?
Данное уравнение описывает преобразование графика $y=f(x)$ путем его сдвига на $a$ единиц вдоль оси $x$. Подставив $f(x)=kx$, получим уравнение $y = f(x - a) = k(x-a)$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$. Проверим, проходит ли эта прямая через ключевые точки, указанные на графике. На рисунке видно, что прямая $m$ пересекает ось $x$ в точке $(a, 0)$. Подставим эти координаты в уравнение: $0 = k(a - a)$, что дает верное равенство $0 = 0$. Таким образом, данное утверждение также математически верно описывает прямую $m$.

Оба утверждения приводят к правильному уравнению для прямой $m$. Однако, когда речь идет о семействе параллельных прямых, их принято рассматривать как результат вертикального сдвига одной базовой прямой. Преобразование $y=f(x)+b$ является как раз таким вертикальным сдвигом, и параметр $b$ напрямую соответствует обозначению на графике (y-пересечение). Это наиболее естественное и общепринятое описание в данном контексте.

Ответ: 1)

332. Задайте данную функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$ и постройте её график, используя график функции $y = ax^2$:

1) $y = x^2 - 4x + 6$;

2) $y = -x^2 + 6x - 6$;

3) $y = 2x^2 - 4x + 5$;

4) $y = 0,2x^2 - 2x - 4$.

1) Для того чтобы задать функцию $y = x^2 - 4x + 6$ формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$, необходимо выделить полный квадрат.
$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2$.
Таким образом, мы получили функцию $y = (x - 2)^2 + 2$. Здесь $a = 1$, $m = 2$, $n = 2$.
График этой функции можно построить, используя график функции $y = x^2$. Для этого нужно сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы будет находиться в точке $(2; 2)$.
Ответ: $y = (x - 2)^2 + 2$.

2) Для функции $y = -x^2 + 6x - 6$ выделим полный квадрат. Сначала вынесем $-1$ за скобки из первых двух слагаемых.
$y = -(x^2 - 6x) - 6 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 6 = -((x - 3)^2 - 9) - 6 = -(x - 3)^2 + 9 - 6 = -(x - 3)^2 + 3$.
Мы получили функцию $y = -(x - 3)^2 + 3$. Здесь $a = -1$, $m = 3$, $n = 3$.
График этой функции можно построить, используя график функции $y = -x^2$. Для этого нужно сдвинуть график параболы $y = -x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы будет находиться в точке $(3; 3)$.
Ответ: $y = -(x - 3)^2 + 3$.

3) Для функции $y = 2x^2 - 4x + 5$ выделим полный квадрат. Вынесем коэффициент $2$ за скобки из первых двух слагаемых.
$y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 2((x - 1)^2 - 1) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$.
Мы получили функцию $y = 2(x - 1)^2 + 3$. Здесь $a = 2$, $m = 1$, $n = 3$.
График этой функции можно построить, используя график функции $y = 2x^2$. Для этого нужно сдвинуть график параболы $y = 2x^2$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Вершина параболы будет находиться в точке $(1; 3)$.
Ответ: $y = 2(x - 1)^2 + 3$.

4) Для функции $y = 0,2x^2 - 2x - 4$ выделим полный квадрат. Вынесем коэффициент $0,2$ за скобки из первых двух слагаемых.
$y = 0,2(x^2 - 10x) - 4 = 0,2(x^2 - 10x + 25 - 25) - 4 = 0,2((x - 5)^2 - 25) - 4 = 0,2(x - 5)^2 - 0,2 \cdot 25 - 4 = 0,2(x - 5)^2 - 5 - 4 = 0,2(x - 5)^2 - 9$.
Мы получили функцию $y = 0,2(x - 5)^2 - 9$. Здесь $a = 0,2$, $m = 5$, $n = -9$.
График этой функции можно построить, используя график функции $y = 0,2x^2$. Для этого нужно сдвинуть график параболы $y = 0,2x^2$ на 5 единиц вправо вдоль оси абсцисс и на 9 единиц вниз вдоль оси ординат. Вершина параболы будет находиться в точке $(5; -9)$.
Ответ: $y = 0,2(x - 5)^2 - 9$.

333. Задайте данную функцию формулой вида $y = a(x - m)^2 + n$ и постройте её график, используя график функции $y = ax^2$:

1) $y = x^2 - 2x - 8$;

2) $y = -2x^2 + 8x - 3$.

1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x - 8$. Чтобы привести ее к виду $y = a(x - m)^2 + n$, необходимо выделить полный квадрат. Коэффициент $a$ перед $x^2$ равен 1.

Выделяем полный квадрат из выражения, группируя слагаемые с $x$:$y = (x^2 - 2x) - 8$.
Чтобы выражение в скобках стало полным квадратом $(x-m)^2 = x^2 - 2xm + m^2$, нам нужно добавить и вычесть член $(2/2)^2=1^2=1$:$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 8$.

Теперь сворачиваем полный квадрат и упрощаем выражение:$y = (x - 1)^2 - 9$.

Мы получили функцию в искомом виде, где $a=1$, $m=1$, $n=-9$.

График функции $y = (x - 1)^2 - 9$ — это парабола. Ее можно построить, используя график базовой функции $y = ax^2$, в данном случае $y = x^2$. Для этого необходимо выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть график функции $y = x^2$ на $m=1$ единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвинуть полученный график на $n=-9$ единиц, то есть на 9 единиц вниз вдоль оси Oy.
Вершина параболы окажется в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(1; -9)$.

Ответ: $y = (x - 1)^2 - 9$.

2)

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 8x - 3$. Чтобы привести ее к виду $y = a(x - m)^2 + n$, сначала вынесем коэффициент $a=-2$ за скобки у слагаемых, содержащих $x$.

$y = -2(x^2 - 4x) - 3$.

Теперь выделим полный квадрат в выражении, стоящем в скобках. Для этого добавим и вычтем член $(4/2)^2=2^2=4$ внутри скобок:$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$.

Свернем полный квадрат и вынесем константу за скобки:$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 3$.
Раскроем внешние скобки:$y = -2(x - 2)^2 + (-2)(-4) - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3$.

Упрощаем и получаем окончательный вид:$y = -2(x - 2)^2 + 5$.

Мы получили функцию в искомом виде, где $a=-2$, $m=2$, $n=5$.

График функции $y = -2(x - 2)^2 + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a=-2 < 0$. Ее можно построить, используя график базовой функции $y = ax^2$, то есть $y = -2x^2$. Для этого необходимо выполнить следующие преобразования:
1. Сдвинуть график функции $y = -2x^2$ на $m=2$ единицы вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвинуть полученный график на $n=5$ единиц вверх вдоль оси Oy.
Вершина параболы окажется в точке с координатами $(m; n)$, то есть $(2; 5)$.

Ответ: $y = -2(x-2)^2 + 5$.