Страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

314. На рисунке 51 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) - 2$;

2) $y = f(x) + 4$;

3) $y = f(x - 3)$;

4) $y = f(x + 1)$;

5) $y = -f(x)$;

6) $y = 3 - f(x)$.

Рис. 51

а

б

в

В данной задаче требуется построить графики функций, полученных из исходных графиков $y = f(x)$ на рисунках а, б и в с помощью геометрических преобразований.

Решения для графика а (парабола)

Исходный график а — это парабола с вершиной в точке $(2, -4)$ и пересечениями с осью $x$ в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

1) $y = f(x) - 2$. Для построения этого графика необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y=f(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$. Вершина параболы из точки $(2, -4)$ сместится в точку $(2, -4 - 2) = (2, -6)$.
Ответ: Графиком является парабола, идентичная исходной, но смещенная на 2 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(2, -6)$, ветви направлены вверх.

2) $y = f(x) + 4$. Для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы из точки $(2, -4)$ сместится в точку $(2, -4 + 4) = (2, 0)$. В этой точке график будет касаться оси абсцисс.
Ответ: Графиком является парабола, идентичная исходной, но смещенная на 4 единицы вверх. Её вершина находится в точке $(2, 0)$, и она касается оси $Ox$ в этой точке.

3) $y = f(x - 3)$. Для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы из точки $(2, -4)$ сместится в точку $(2 + 3, -4) = (5, -4)$.
Ответ: Графиком является парабола, идентичная исходной, но смещенная на 3 единицы вправо. Её вершина находится в точке $(5, -4)$.

4) $y = f(x + 1)$. Для построения этого графика необходимо сдвинуть исходный график на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Вершина параболы из точки $(2, -4)$ сместится в точку $(2 - 1, -4) = (1, -4)$.
Ответ: Графиком является парабола, идентичная исходной, но смещенная на 1 единицу влево. Её вершина находится в точке $(1, -4)$.

5) $y = -f(x)$. Для построения этого графика необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы из точки $(2, -4)$ переместится в точку $(2, -(-4)) = (2, 4)$. Ветви параболы будут направлены вниз.
Ответ: Графиком является парабола, симметричная исходной относительно оси $Ox$. Её вершина находится в точке $(2, 4)$, ветви направлены вниз.

6) $y = 3 - f(x)$. Это преобразование можно представить как $y = -f(x) + 3$. Сначала нужно отразить исходный график относительно оси $Ox$ (как в пункте 5), а затем сдвинуть полученный график на 3 единицы вверх. Вершина $(2, -4)$ сначала отразится в $(2, 4)$, а затем сместится в $(2, 4 + 3) = (2, 7)$.
Ответ: Графиком является парабола, отраженная относительно оси $Ox$ и сдвинутая на 3 единицы вверх. Её вершина находится в точке $(2, 7)$, ветви направлены вниз.

Решения для графика б (кубическая кривая)

Исходный график б — кривая, имеющая локальный максимум в точке примерно $(0.5, 4)$ и локальный минимум в точке $(2, 0)$.

1) $y = f(x) - 2$. График сдвигается на 2 единицы вниз. Локальный максимум переместится в точку $(0.5, 4-2) = (0.5, 2)$, а локальный минимум — в точку $(2, 0-2) = (2, -2)$.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 2 единицы вниз.

2) $y = f(x) + 4$. График сдвигается на 4 единицы вверх. Локальный максимум переместится в точку $(0.5, 4+4) = (0.5, 8)$, а локальный минимум — в точку $(2, 0+4) = (2, 4)$.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 4 единицы вверх.

3) $y = f(x - 3)$. График сдвигается на 3 единицы вправо. Локальный максимум переместится в точку $(0.5+3, 4) = (3.5, 4)$, а локальный минимум — в точку $(2+3, 0) = (5, 0)$.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 3 единицы вправо.

4) $y = f(x + 1)$. График сдвигается на 1 единицу влево. Локальный максимум переместится в точку $(0.5-1, 4) = (-0.5, 4)$, а локальный минимум — в точку $(2-1, 0) = (1, 0)$.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 1 единицу влево.

5) $y = -f(x)$. График отражается симметрично относительно оси $Ox$. Локальный максимум $(0.5, 4)$ станет локальным минимумом $(0.5, -4)$. Локальный минимум $(2, 0)$ останется на оси, но станет точкой локального максимума.
Ответ: График, симметричный исходному относительно оси $Ox$.

6) $y = 3 - f(x)$. График сначала отражается относительно оси $Ox$, а затем сдвигается на 3 единицы вверх. Локальный максимум $(0.5, 4)$ превращается в локальный минимум $(0.5, -4)$ и затем сдвигается в $(0.5, -4+3) = (0.5, -1)$. Локальный минимум $(2, 0)$ превращается в локальный максимум $(2, 0)$ и сдвигается в $(2, 0+3) = (2, 3)$.
Ответ: График, полученный отражением исходного относительно оси $Ox$ и последующим сдвигом на 3 единицы вверх.

Решения для графика в (гиперболическая кривая)

Исходный график в имеет вертикальную асимптоту $x=0$. При $x \to -\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$. При $x \to \infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=-1$.

1) $y = f(x) - 2$. График сдвигается на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальные асимптоты сместятся на 2 вниз: $y = 1-2 = -1$ (при $x \to -\infty$) и $y = -1-2 = -3$ (при $x \to \infty$).
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 2 единицы вниз, с асимптотами $x=0$, $y=-1$ и $y=-3$.

2) $y = f(x) + 4$. График сдвигается на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальные асимптоты сместятся на 4 вверх: $y = 1+4 = 5$ (при $x \to -\infty$) и $y = -1+4 = 3$ (при $x \to \infty$).
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 4 единицы вверх, с асимптотами $x=0$, $y=5$ и $y=3$.

3) $y = f(x - 3)$. График сдвигается на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота сместится в $x=3$. Горизонтальные асимптоты $y=1$ и $y=-1$ не изменятся.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$.

4) $y = f(x + 1)$. График сдвигается на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота сместится в $x=-1$. Горизонтальные асимптоты $y=1$ и $y=-1$ не изменятся.
Ответ: График, идентичный исходному, но сдвинутый на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота $x=-1$.

5) $y = -f(x)$. График отражается симметрично относительно оси $Ox$. Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальные асимптоты отразятся: $y=-1$ (при $x \to -\infty$) и $y=1$ (при $x \to \infty$). Ветвь из левой верхней четверти перейдет в левую нижнюю, а ветвь из правой нижней — в правую верхнюю.
Ответ: График, симметричный исходному относительно оси $Ox$. Асимптоты: $x=0$, $y=-1$ и $y=1$.

6) $y = 3 - f(x)$. График сначала отражается относительно оси $Ox$, а затем сдвигается на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ не изменится. Горизонтальные асимптоты сначала отразятся ($y=-1$ и $y=1$), а затем сместятся на 3 вверх: $y = -1+3=2$ (при $x \to -\infty$) и $y = 1+3=4$ (при $x \to \infty$).
Ответ: График, полученный отражением исходного относительно оси $Ox$ и сдвигом на 3 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$ и $y=4$.