Страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 52

315. На рисунке 52 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 5$;

2) $y = f(x) - 3$;

3) $y = f(x + 1)$;

4) $y = f(x - 2)$;

5) $y = -f(x)$;

6) $y = -f(x) - 1$.

Для решения задачи воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Исходный график функции $y = f(x)$ проходит через ключевые точки $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-4, 2)$.

1) $y = f(x) + 5$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 5$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y + 5)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, 0 + 5)$, то есть в $(0, 5)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, 1 + 5)$, то есть в $(-1, 6)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, 2 + 5)$, то есть в $(-4, 7)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) + 5$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси OY.

2) $y = f(x) - 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y - 3)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, 0 - 3)$, то есть в $(0, -3)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, 1 - 3)$, то есть в $(-1, -2)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, 2 - 3)$, то есть в $(-4, -1)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) - 3$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

3) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 1)$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x - 1, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0 - 1, 0)$, то есть в $(-1, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1 - 1, 1)$, то есть в $(-2, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4 - 1, 2)$, то есть в $(-5, 2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x + 1)$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси OX.

4) $y = f(x - 2)$

Чтобы построить график функции $y = f(x - 2)$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x + 2, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0 + 2, 0)$, то есть в $(2, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1 + 2, 1)$, то есть в $(1, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4 + 2, 2)$, то есть в $(-2, 2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x - 2)$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX.

5) $y = -f(x)$

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, нужно отразить исходный график $y = f(x)$ симметрично относительно оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -0)$, то есть в $(0, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, -2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график, который является зеркальным отражением исходного относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ относительно оси OX.

6) $y = -f(x) - 1$

Чтобы построить график функции $y = -f(x) - 1$, нужно выполнить два преобразования: сначала отразить график $y = f(x)$ симметрично относительно оси OX, а затем сдвинуть полученный график на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, -y - 1)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -0 - 1)$, то есть в $(0, -1)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1 - 1)$, то есть в $(-1, -2)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, -2 - 1)$, то есть в $(-4, -3)$.

Выполнив эти преобразования, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = -f(x) - 1$ получается путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси OX с последующим параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

316. Постройте график функции $y = x^2$.

Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 3$;

2) $y = x^2 + 4$;

3) $y = (x - 5)^2$;

4) $y = (x + 2)^2$;

5) $y = (x - 1)^2 + 2$;

6) $y = (x + 3)^2 - 2$.

Для построения всех указанных графиков используется один и тот же метод: преобразование (сдвиг) графика базовой функции $y = x^2$. График функции $y = x^2$ представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Все искомые графики являются параболами, идентичными по форме параболе $y=x^2$, но смещенными в координатной плоскости.

Общие правила для преобразования графика функции $y=f(x)$:

• $y = f(x) + c$: сдвиг графика на $c$ единиц вверх.
• $y = f(x) - c$: сдвиг графика на $c$ единиц вниз.
• $y = f(x - c)$: сдвиг графика на $c$ единиц вправо.
• $y = f(x + c)$: сдвиг графика на $c$ единиц влево.

Чтобы построить график функции $y = x^2 - 3$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить параллельный перенос на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 3 единицы вниз.

Чтобы построить график функции $y = x^2 + 4$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить параллельный перенос на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 4 единицы вверх.

Чтобы построить график функции $y = (x - 5)^2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить параллельный перенос на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(5, 0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 5 единиц вправо.

Чтобы построить график функции $y = (x + 2)^2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить параллельный перенос на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 2 единицы влево.

Чтобы построить график функции $y = (x - 1)^2 + 2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить два параллельных переноса: на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

Чтобы построить график функции $y = (x + 3)^2 - 2$, нужно взять график функции $y = x^2$ и выполнить два параллельных переноса: на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы сместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, -2)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

317. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 + 1;$

2) $y = -x^2 - 2;$

3) $y = -(x - 2)^2;$

4) $y = -(x + 4)^2;$

5) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

6) $y = -(x - 3)^2 + 4.$

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Ось симметрии — ось OY. Для построения найдем несколько точек:

• при $x = 0$, $y = -0^2 = 0$ → точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = -1^2 = -1$ → точка $(1, -1)$
• при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$ → точка $(-1, -1)$
• при $x = 2$, $y = -2^2 = -4$ → точка $(2, -4)$
• при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$ → точка $(-2, -4)$

Используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью преобразований (сдвигов).

1) $y = -x^2 + 1$

График функции $y = -x^2 + 1$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на 1 единицу вверх. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 1 вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 1 единицу вверх.

2) $y = -x^2 - 2$

График функции $y = -x^2 - 2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OY на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 2 вниз. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 2 единицы вниз.

3) $y = -(x - 2)^2$

График функции $y = -(x - 2)^2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OX на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 2 вправо. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 2)^2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо.

4) $y = -(x + 4)^2$

График функции $y = -(x + 4)^2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OX на 4 единицы влево (так как $x+4 = x - (-4)$). Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 4 влево. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 4)^2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 4 единицы влево.

5) $y = -(x + 1)^2 - 1$

График этой функции получается из графика $y = -x^2$ путем двух последовательных сдвигов:

1. Сдвиг на 1 единицу влево вдоль оси OX.
2. Сдвиг на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-1, -1)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 1)^2 - 1$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз.

6) $y = -(x - 3)^2 + 4$

График этой функции получается из графика $y = -x^2$ путем двух последовательных сдвигов:

1. Сдвиг на 3 единицы вправо вдоль оси OX.
2. Сдвиг на 4 единицы вверх вдоль оси OY.

Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 4)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 4$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх.

318. Постройте график функции $y = -\frac{6}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -\frac{6}{x} + 5;$

2) $y = -\frac{6}{x - 2};$

3) $y = -\frac{6}{x + 4} - 2.$

Для того чтобы построить графики заданных функций, сначала построим базовый график функции $y = -\frac{6}{x}$.

Функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k = -6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Составим таблицу значений для построения графика $y = -\frac{6}{x}$:

Построив асимптоты и отметив эти точки на координатной плоскости, мы можем провести через них две плавные кривые, составляющие гиперболу.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = -\frac{6}{x} + 5$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью преобразования вида $y = f(x) + a$. В нашем случае $a = 5$. Это преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси Oy на $a$ единиц.

Так как $a = 5 > 0$, сдвиг происходит на 5 единиц вверх.

При этом преобразовании вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется, а горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 5 единиц вверх и становится прямой $y=5$. Каждая точка графика $y = -\frac{6}{x}$ также сдвигается на 5 единиц вверх.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x} + 5$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 5 единиц вверх вдоль оси Oy.

2) $y = -\frac{6}{x-2}$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью преобразования вида $y = f(x+b)$. В нашем случае функция имеет вид $y = f(x-2)$, где $f(x) = -\frac{6}{x}$. Это преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси Ox.

Так как мы вычитаем 2 из аргумента $x$, сдвиг происходит на 2 единицы вправо.

При этом преобразовании горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется, а вертикальная асимптота $x=0$ сдвигается на 2 единицы вправо и становится прямой $x=2$. Каждая точка графика $y = -\frac{6}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вправо.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x-2}$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = -\frac{6}{x+4} - 2$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x+4)$, что соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на 4 единицы влево.
2. Сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Прибавление константы $-2$ к функции ($y = g(x) - 2$, где $g(x) = -\frac{6}{x+4}$) соответствует сдвигу графика на 2 единицы вниз.

Таким образом, чтобы получить график функции $y = -\frac{6}{x+4} - 2$, нужно сдвинуть график $y = -\frac{6}{x}$ на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Новые асимптоты графика будут: вертикальная асимптота $x = -4$ (сдвиг $x=0$ на 4 влево) и горизонтальная асимптота $y = -2$ (сдвиг $y=0$ на 2 вниз).

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x+4} - 2$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 4 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

319. Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{x} - 1;$

2) $y = \frac{2}{x + 1};$

3) $y = \frac{2}{x - 3} + 6.$

Для решения задачи сначала необходимо построить график базовой функции $y = \frac{2}{x}$. Этот график является гиперболой. Поскольку коэффициент $k=2$ больше нуля, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$), и горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).

Для более точного построения графика найдём несколько точек, принадлежащих ему:

При $x = 0.5$, $y = 4$.
При $x = 1$, $y = 2$.
При $x = 2$, $y = 1$.
При $x = 4$, $y = 0.5$.
При $x = -0.5$, $y = -4$.
При $x = -1$, $y = -2$.
При $x = -2$, $y = -1$.
При $x = -4$, $y = -0.5$.

Соединив эти точки плавными кривыми, приближающимися к асимптотам, мы получаем график функции $y = \frac{2}{x}$. Используя этот график как основу, построим графики для каждой из заданных функций путем геометрических преобразований.

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{2}{x}$ и $c=-1$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (оси Oy). Поскольку $c = -1 < 0$, сдвиг осуществляется на 1 единицу вниз.

Каждая точка графика $y = \frac{2}{x}$ смещается на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ при этом не изменяется, а горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 единицу вниз и становится прямой $y=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x} - 1$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Данная функция имеет вид $y = f(x+b)$, где $f(x) = \frac{2}{x}$ и $b=1$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox). Поскольку $b = 1 > 0$, сдвиг осуществляется на 1 единицу влево.

Каждая точка графика $y = \frac{2}{x}$ смещается на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом не изменяется, а вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x+1}$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Эта функция задает преобразование вида $y = f(x-a) + c$, где $f(x) = \frac{2}{x}$, $a=3$ и $c=6$. Такое преобразование представляет собой комбинацию двух параллельных переносов: по горизонтали и по вертикали.

Член $(x-3)$ в знаменателе соответствует сдвигу графика базовой функции на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Член $+6$ соответствует сдвигу графика на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.

Следовательно, для построения графика функции $y = \frac{2}{x-3} + 6$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо и на 6 единиц вверх. Новые асимптоты графика будут прямыми $x=3$ и $y=6$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x-3} + 6$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.

320. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 4$;

2) $y = \sqrt{x - 4}$;

3) $y = \sqrt{x - 1} + 3.$

Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Это стандартная функция, график которой является ветвью параболы.Область определения функции: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.Область значений функции: $y \ge 0$, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0, 0) - начало графика.
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1, 1).
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4, 2).
• при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9, 3).

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y = \sqrt{x}$. Все последующие графики будут строиться на основе этого графика путем геометрических преобразований (сдвигов).

1) $y = \sqrt{x} - 4$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OY. Если $c < 0$, то сдвиг происходит вниз на $|c|$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $c = -4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x} - 4$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 4)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (0, -4).
• Точка (1, 1) перейдет в точку (1, -3).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (4, -2).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (9, -1).

Область определения функции $y = \sqrt{x} - 4$ остается прежней: $x \ge 0$. Область значений сдвигается на 4 единицы вниз: $y \ge -4$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз по оси OY.

2) $y = \sqrt{x - 4}$

График функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OX. Если $a > 0$, то сдвиг происходит вправо на $a$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a = 4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x - 4}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси OX.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0 + 4, y_0)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (4, 0).
• Точка (1, 1) перейдет в точку (5, 1).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (8, 2).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (13, 3).

Область определения функции $y = \sqrt{x - 4}$ сдвигается: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Область значений остается прежней: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо по оси OX.

3) $y = \sqrt{x - 1} + 3$

Для построения этого графика нужно выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг вправо на 1 единицу (из-за $x-1$ под корнем). Это преобразование вида $y = f(x-a)$ с $a=1$.
2. Сдвиг вверх на 3 единицы (из-за $+3$ после корня). Это преобразование вида $y = g(x) + c$ с $c=3$, где $g(x)=\sqrt{x-1}$.

Таким образом, мы берем график $y = \sqrt{x}$ и сдвигаем его на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0 + 3)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (0 + 1, 0 + 3), то есть в (1, 3). Это будет начальная точка нового графика.
• Точка (1, 1) перейдет в точку (1 + 1, 1 + 3), то есть в (2, 4).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (4 + 1, 2 + 3), то есть в (5, 5).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (9 + 1, 3 + 3), то есть в (10, 6).

Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} + 3$: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Область значений: $y \ge 3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 1} + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси OX и на 3 единицы вверх по оси OY.

321. Постройте график функции $y = (x+5)^2 - 9$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x + 5)^2 - 9$ воспользуемся методом преобразования графика основной параболы $y = x^2$.

1. Сначала строим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
2. Далее сдвигаем график $y = x^2$ на 5 единиц влево вдоль оси Ox. Это преобразование описывается заменой $x$ на $(x+5)$, и мы получаем график функции $y = (x+5)^2$. Вершина новой параболы теперь находится в точке $(-5, 0)$.
3. Наконец, сдвигаем полученный на втором шаге график на 9 единиц вниз вдоль оси Oy. Это соответствует вычитанию 9 из всей функции. Таким образом, мы получаем искомый график $y = (x + 5)^2 - 9$. Вершина итоговой параболы находится в точке $(-5, -9)$.

Итак, график функции $y = (x + 5)^2 - 9$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке с координатами $(-5, -9)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = -5$.

Для более точного построения найдем ключевые точки — точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x = 0$):
  $y = (0 + 5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.
  График пересекает ось ординат в точке $(0, 16)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции, при $y = 0$):
  $(x + 5)^2 - 9 = 0$
  $(x + 5)^2 = 9$
  $x + 5 = \sqrt{9}$ или $x + 5 = -\sqrt{9}$
  $x + 5 = 3 \Rightarrow x_1 = -2$
  $x + 5 = -3 \Rightarrow x_2 = -8$
  График пересекает ось абсцисс в точках $(-8, 0)$ и $(-2, 0)$.

Используя вершину, ось симметрии и точки пересечения с осями, мы можем построить график. Теперь, анализируя график, ответим на поставленные вопросы.

1) нули функции:

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Как мы уже вычислили, это происходит в точках $x = -8$ и $x = -2$.

Ответ: $-8; -2$.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) там, где ее график расположен выше оси Ox. Глядя на параболу, мы видим, что это происходит на двух интервалах: левее корня $x = -8$ и правее корня $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции:

Вершина параболы $(-5, -9)$ является точкой минимума. Слева от вершины функция убывает, а справа — возрастает.

• Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины, то есть при $x \in (-\infty; -5]$.
• Функция возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$, то есть при $x \in [-5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -5]$.

4) область значений функции:

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы является ее самой низкой точкой и ее ордината равна $-9$, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения, начиная от $-9$ включительно и до бесконечности.

Ответ: $[-9; +\infty)$.

322. Постройте график функции $y = (x - 4)^2 + 4$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x - 4)^2 + 4$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходная функция — это парабола $y = x^2$, которую необходимо сместить.

Данная функция $y = (x - 4)^2 + 4$ является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.

В нашем случае $a=1$, $h=4$, $k=4$. Следовательно:
1. Вершина параболы находится в точке $(4, 4)$.
2. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 4$.

Таким образом, график функции $y = (x - 4)^2 + 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.

Найдем несколько контрольных точек для более точного построения графика, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси $x=4$:
- при $x = 3$, $y = (3 - 4)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.
- при $x = 5$, $y = (5 - 4)^2 + 4 = 1^2 + 4 = 5$. Точка $(5, 5)$.
- при $x = 2$, $y = (2 - 4)^2 + 4 = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Точка $(2, 8)$.
- при $x = 6$, $y = (6 - 4)^2 + 4 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Точка $(6, 8)$.

Используя эти свойства, мы можем проанализировать график и ответить на поставленные вопросы.

1) нули функции;

Нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). Чтобы их найти, нужно решить уравнение $y=0$:
$(x - 4)^2 + 4 = 0$
$(x - 4)^2 = -4$
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это уравнение не имеет решений в действительных числах. Вершина параболы $(4, 4)$ находится выше оси Ox, и ветви направлены вверх, поэтому график не пересекает ось Ox.
Ответ: нулей у функции нет.

2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

Нужно найти значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси Ox.
Как было установлено, наименьшее значение функции достигается в её вершине и равно 4. Так как $(x - 4)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y = (x - 4)^2 + 4 \ge 4$.
Следовательно, функция всегда принимает положительные значения. График полностью расположен над осью Ox.
Ответ: таких значений аргумента не существует.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Анализируем поведение функции относительно её вершины $(4, 4)$. Так как ветви параболы направлены вверх:
- слева от вершины (при $x < 4$) функция убывает;
- справа от вершины (при $x > 4$) функция возрастает.
Промежуток убывания: $(-\infty, 4]$.
Промежуток возрастания: $[4, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.
Поскольку вершина параболы $(4, 4)$ является её самой низкой точкой, минимальное значение функции равно 4. Функция может принимать любое значение, равное или большее 4.
Таким образом, область значений функции — это все числа от 4, включая 4, до плюс бесконечности.
Ответ: $[4, +\infty)$.

323. Задайте формулой вида $y = ax^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 53.

Рис. 53

а

б

а

Функция задана формулой $y = ax^2 + n$. Графиком такой функции является парабола, симметричная относительно оси OY, вершина которой находится в точке с координатами $(0, n)$.

1. Определим координаты вершины параболы, изображённой на рисунке а. Вершина — это самая нижняя точка графика. Из рисунка видно, что её координаты $(0, 2)$.

2. Сравнивая координаты вершины $(0, 2)$ с общей формой $(0, n)$, находим, что $n = 2$. Таким образом, уравнение функции принимает вид $y = ax^2 + 2$.

3. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку с хорошо читаемыми целочисленными координатами. Например, точка с координатами $(1, 3)$ принадлежит параболе.

4. Подставим координаты этой точки ($x=1$, $y=3$) в полученное уравнение, чтобы найти $a$:
$3 = a \cdot (1)^2 + 2$
$3 = a + 2$
$a = 3 - 2$
$a = 1$

5. Подставив найденные значения $a=1$ и $n=2$ в исходную формулу, получаем итоговое уравнение функции.

Ответ: $y = x^2 + 2$.

б

Решим задачу для графика на рисунке б, используя тот же подход.

1. Определим координаты вершины параболы. Вершина — это самая верхняя точка графика. Из рисунка видно, что её координаты $(0, -1)$.

2. Из координат вершины $(0, -1)$ следует, что $n = -1$. Уравнение функции принимает вид $y = ax^2 - 1$.

3. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике другую точку. Например, точка с координатами $(1, -2)$ принадлежит параболе. Так как ветви параболы направлены вниз, коэффициент $a$ должен быть отрицательным.

4. Подставим координаты точки $(1, -2)$ в уравнение $y = ax^2 - 1$:
$-2 = a \cdot (1)^2 - 1$
$-2 = a - 1$
$a = -2 + 1$
$a = -1$

5. Подставив найденные значения $a=-1$ и $n=-1$ в исходную формулу, получаем итоговое уравнение функции.

Ответ: $y = -x^2 - 1$.