Номер 315, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 52

315. На рисунке 52 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 5$;

2) $y = f(x) - 3$;

3) $y = f(x + 1)$;

4) $y = f(x - 2)$;

5) $y = -f(x)$;

6) $y = -f(x) - 1$.

Для решения задачи воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Исходный график функции $y = f(x)$ проходит через ключевые точки $(0, 0)$, $(-1, 1)$, $(-4, 2)$.

1) $y = f(x) + 5$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 5$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y + 5)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, 0 + 5)$, то есть в $(0, 5)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, 1 + 5)$, то есть в $(-1, 6)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, 2 + 5)$, то есть в $(-4, 7)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) + 5$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси OY.

2) $y = f(x) - 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, y - 3)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, 0 - 3)$, то есть в $(0, -3)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, 1 - 3)$, то есть в $(-1, -2)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, 2 - 3)$, то есть в $(-4, -1)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x) - 3$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY.

3) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 1)$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x - 1, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0 - 1, 0)$, то есть в $(-1, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1 - 1, 1)$, то есть в $(-2, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4 - 1, 2)$, то есть в $(-5, 2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x + 1)$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси OX.

4) $y = f(x - 2)$

Чтобы построить график функции $y = f(x - 2)$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x + 2, y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0 + 2, 0)$, то есть в $(2, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1 + 2, 1)$, то есть в $(1, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4 + 2, 2)$, то есть в $(-2, 2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, сохраняющей форму исходной, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = f(x - 2)$ получается путем параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси OX.

5) $y = -f(x)$

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, нужно отразить исходный график $y = f(x)$ симметрично относительно оси абсцисс (OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, -y)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -0)$, то есть в $(0, 0)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, -2)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график, который является зеркальным отражением исходного относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ относительно оси OX.

6) $y = -f(x) - 1$

Чтобы построить график функции $y = -f(x) - 1$, нужно выполнить два преобразования: сначала отразить график $y = f(x)$ симметрично относительно оси OX, а затем сдвинуть полученный график на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, -y - 1)$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ переходит в $(0, -0 - 1)$, то есть в $(0, -1)$.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в $(-1, -1 - 1)$, то есть в $(-1, -2)$.
• Точка $(-4, 2)$ переходит в $(-4, -2 - 1)$, то есть в $(-4, -3)$.

Выполнив эти преобразования, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = -f(x) - 1$ получается путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси OX с последующим параллельным переносом на 1 единицу вниз вдоль оси OY.