Номер 319, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

319. Постройте график функции $y = \frac{2}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{2}{x} - 1;$

2) $y = \frac{2}{x + 1};$

3) $y = \frac{2}{x - 3} + 6.$

Для решения задачи сначала необходимо построить график базовой функции $y = \frac{2}{x}$. Этот график является гиперболой. Поскольку коэффициент $k=2$ больше нуля, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика служат оси координат: вертикальная асимптота — ось Oy ($x=0$), и горизонтальная асимптота — ось Ox ($y=0$).

Для более точного построения графика найдём несколько точек, принадлежащих ему:

При $x = 0.5$, $y = 4$.
При $x = 1$, $y = 2$.
При $x = 2$, $y = 1$.
При $x = 4$, $y = 0.5$.
При $x = -0.5$, $y = -4$.
При $x = -1$, $y = -2$.
При $x = -2$, $y = -1$.
При $x = -4$, $y = -0.5$.

Соединив эти точки плавными кривыми, приближающимися к асимптотам, мы получаем график функции $y = \frac{2}{x}$. Используя этот график как основу, построим графики для каждой из заданных функций путем геометрических преобразований.

Данная функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \frac{2}{x}$ и $c=-1$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $f(x)$ вдоль оси ординат (оси Oy). Поскольку $c = -1 < 0$, сдвиг осуществляется на 1 единицу вниз.

Каждая точка графика $y = \frac{2}{x}$ смещается на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота $x=0$ при этом не изменяется, а горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 единицу вниз и становится прямой $y=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x} - 1$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Данная функция имеет вид $y = f(x+b)$, где $f(x) = \frac{2}{x}$ и $b=1$. Такое преобразование соответствует параллельному переносу графика функции $f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox). Поскольку $b = 1 > 0$, сдвиг осуществляется на 1 единицу влево.

Каждая точка графика $y = \frac{2}{x}$ смещается на 1 единицу влево. Горизонтальная асимптота $y=0$ при этом не изменяется, а вертикальная асимптота $x=0$ смещается на 1 единицу влево и становится прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x+1}$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Эта функция задает преобразование вида $y = f(x-a) + c$, где $f(x) = \frac{2}{x}$, $a=3$ и $c=6$. Такое преобразование представляет собой комбинацию двух параллельных переносов: по горизонтали и по вертикали.

Член $(x-3)$ в знаменателе соответствует сдвигу графика базовой функции на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Член $+6$ соответствует сдвигу графика на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.

Следовательно, для построения графика функции $y = \frac{2}{x-3} + 6$, необходимо сдвинуть график $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо и на 6 единиц вверх. Новые асимптоты графика будут прямыми $x=3$ и $y=6$.

Ответ: График функции $y = \frac{2}{x-3} + 6$ получается из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.