Номер 320, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

320. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 4$;

2) $y = \sqrt{x - 4}$;

3) $y = \sqrt{x - 1} + 3.$

Сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Это стандартная функция, график которой является ветвью параболы.Область определения функции: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.Область значений функции: $y \ge 0$, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0, 0) - начало графика.
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1, 1).
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4, 2).
• при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9, 3).

Соединив эти точки плавной линией, мы получим график функции $y = \sqrt{x}$. Все последующие графики будут строиться на основе этого графика путем геометрических преобразований (сдвигов).

1) $y = \sqrt{x} - 4$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OY. Если $c < 0$, то сдвиг происходит вниз на $|c|$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $c = -4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x} - 4$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 4)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (0, -4).
• Точка (1, 1) перейдет в точку (1, -3).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (4, -2).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (9, -1).

Область определения функции $y = \sqrt{x} - 4$ остается прежней: $x \ge 0$. Область значений сдвигается на 4 единицы вниз: $y \ge -4$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз по оси OY.

2) $y = \sqrt{x - 4}$

График функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OX. Если $a > 0$, то сдвиг происходит вправо на $a$ единиц.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и $a = 4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x - 4}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси OX.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0 + 4, y_0)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (4, 0).
• Точка (1, 1) перейдет в точку (5, 1).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (8, 2).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (13, 3).

Область определения функции $y = \sqrt{x - 4}$ сдвигается: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Область значений остается прежней: $y \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо по оси OX.

3) $y = \sqrt{x - 1} + 3$

Для построения этого графика нужно выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг вправо на 1 единицу (из-за $x-1$ под корнем). Это преобразование вида $y = f(x-a)$ с $a=1$.
2. Сдвиг вверх на 3 единицы (из-за $+3$ после корня). Это преобразование вида $y = g(x) + c$ с $c=3$, где $g(x)=\sqrt{x-1}$.

Таким образом, мы берем график $y = \sqrt{x}$ и сдвигаем его на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх.

Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sqrt{x}$ перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0 + 3)$.

• Точка (0, 0) перейдет в точку (0 + 1, 0 + 3), то есть в (1, 3). Это будет начальная точка нового графика.
• Точка (1, 1) перейдет в точку (1 + 1, 1 + 3), то есть в (2, 4).
• Точка (4, 2) перейдет в точку (4 + 1, 2 + 3), то есть в (5, 5).
• Точка (9, 3) перейдет в точку (9 + 1, 3 + 3), то есть в (10, 6).

Область определения функции $y = \sqrt{x - 1} + 3$: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Область значений: $y \ge 3$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 1} + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси OX и на 3 единицы вверх по оси OY.