Номер 318, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

318. Постройте график функции $y = -\frac{6}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -\frac{6}{x} + 5;$

2) $y = -\frac{6}{x - 2};$

3) $y = -\frac{6}{x + 4} - 2.$

Для того чтобы построить графики заданных функций, сначала построим базовый график функции $y = -\frac{6}{x}$.

Функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола. Так как коэффициент $k = -6$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Составим таблицу значений для построения графика $y = -\frac{6}{x}$:

Построив асимптоты и отметив эти точки на координатной плоскости, мы можем провести через них две плавные кривые, составляющие гиперболу.

Теперь, используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = -\frac{6}{x} + 5$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью преобразования вида $y = f(x) + a$. В нашем случае $a = 5$. Это преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси Oy на $a$ единиц.

Так как $a = 5 > 0$, сдвиг происходит на 5 единиц вверх.

При этом преобразовании вертикальная асимптота $x=0$ не изменяется, а горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 5 единиц вверх и становится прямой $y=5$. Каждая точка графика $y = -\frac{6}{x}$ также сдвигается на 5 единиц вверх.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x} + 5$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 5 единиц вверх вдоль оси Oy.

2) $y = -\frac{6}{x-2}$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью преобразования вида $y = f(x+b)$. В нашем случае функция имеет вид $y = f(x-2)$, где $f(x) = -\frac{6}{x}$. Это преобразование соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси Ox.

Так как мы вычитаем 2 из аргумента $x$, сдвиг происходит на 2 единицы вправо.

При этом преобразовании горизонтальная асимптота $y=0$ не изменяется, а вертикальная асимптота $x=0$ сдвигается на 2 единицы вправо и становится прямой $x=2$. Каждая точка графика $y = -\frac{6}{x}$ также сдвигается на 2 единицы вправо.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x-2}$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

3) $y = -\frac{6}{x+4} - 2$

Этот график можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг по горизонтали (вдоль оси Ox). Функция имеет вид $y = f(x+4)$, что соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на 4 единицы влево.
2. Сдвиг по вертикали (вдоль оси Oy). Прибавление константы $-2$ к функции ($y = g(x) - 2$, где $g(x) = -\frac{6}{x+4}$) соответствует сдвигу графика на 2 единицы вниз.

Таким образом, чтобы получить график функции $y = -\frac{6}{x+4} - 2$, нужно сдвинуть график $y = -\frac{6}{x}$ на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Новые асимптоты графика будут: вертикальная асимптота $x = -4$ (сдвиг $x=0$ на 4 влево) и горизонтальная асимптота $y = -2$ (сдвиг $y=0$ на 2 вниз).

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -\frac{6}{x+4} - 2$, нужно график функции $y = -\frac{6}{x}$ сдвинуть на 4 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.