Номер 322, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

322. Постройте график функции $y = (x - 4)^2 + 4$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x - 4)^2 + 4$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходная функция — это парабола $y = x^2$, которую необходимо сместить.

Данная функция $y = (x - 4)^2 + 4$ является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.

В нашем случае $a=1$, $h=4$, $k=4$. Следовательно:
1. Вершина параболы находится в точке $(4, 4)$.
2. Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 4$.

Таким образом, график функции $y = (x - 4)^2 + 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.

Найдем несколько контрольных точек для более точного построения графика, выбрав значения $x$ симметрично относительно оси $x=4$:
- при $x = 3$, $y = (3 - 4)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.
- при $x = 5$, $y = (5 - 4)^2 + 4 = 1^2 + 4 = 5$. Точка $(5, 5)$.
- при $x = 2$, $y = (2 - 4)^2 + 4 = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Точка $(2, 8)$.
- при $x = 6$, $y = (6 - 4)^2 + 4 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$. Точка $(6, 8)$.

Используя эти свойства, мы можем проанализировать график и ответить на поставленные вопросы.

1) нули функции;

Нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). Чтобы их найти, нужно решить уравнение $y=0$:
$(x - 4)^2 + 4 = 0$
$(x - 4)^2 = -4$
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это уравнение не имеет решений в действительных числах. Вершина параболы $(4, 4)$ находится выше оси Ox, и ветви направлены вверх, поэтому график не пересекает ось Ox.
Ответ: нулей у функции нет.

2) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

Нужно найти значения $x$, при которых $y < 0$. Это соответствует участкам графика, расположенным ниже оси Ox.
Как было установлено, наименьшее значение функции достигается в её вершине и равно 4. Так как $(x - 4)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y = (x - 4)^2 + 4 \ge 4$.
Следовательно, функция всегда принимает положительные значения. График полностью расположен над осью Ox.
Ответ: таких значений аргумента не существует.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Анализируем поведение функции относительно её вершины $(4, 4)$. Так как ветви параболы направлены вверх:
- слева от вершины (при $x < 4$) функция убывает;
- справа от вершины (при $x > 4$) функция возрастает.
Промежуток убывания: $(-\infty, 4]$.
Промежуток возрастания: $[4, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.
Поскольку вершина параболы $(4, 4)$ является её самой низкой точкой, минимальное значение функции равно 4. Функция может принимать любое значение, равное или большее 4.
Таким образом, область значений функции — это все числа от 4, включая 4, до плюс бесконечности.
Ответ: $[4, +\infty)$.