Номер 326, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

326. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2$ функцию, график которой изображён на рисунке 56.

Рис. 56

а

б

а

Заданная функция имеет вид $y = a(x + m)^2$. Это уравнение параболы, вершина которой находится на оси абсцисс. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ — это $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. В нашем случае уравнение можно переписать как $y = a(x - (-m))^2 + 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-m, 0)$.

1. Найдём вершину параболы на графике.
Из рисунка «а» видно, что вершина параболы (её самая нижняя точка) находится в точке с координатами $(-4, 0)$.

2. Определим значение $m$.
Поскольку координаты вершины равны $(-m, 0)$, мы можем приравнять абсциссу найденной вершины к $-m$:
$-m = -4$
Отсюда получаем, что $m = 4$.
Теперь уравнение функции принимает вид $y = a(x + 4)^2$.

3. Определим значение коэффициента $a$.
Для этого выберем на графике любую другую точку, через которую проходит парабола. Удобно взять точку пересечения с осью $y$. Из графика видно, что парабола проходит через точку с координатами $(0, 8)$. Подставим эти значения ($x=0$ и $y=8$) в наше уравнение:

$8 = a(0 + 4)^2$
$8 = a \cdot 4^2$
$8 = 16a$
$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Коэффициент $a = \frac{1}{2}$ является положительным, что соответствует направлению ветвей параболы вверх, как и показано на графике.

4. Запишем итоговую формулу.
Подставив найденные значения $a = \frac{1}{2}$ и $m = 4$ в исходный вид функции, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $y = \frac{1}{2}(x + 4)^2$

б

Действуем аналогично предыдущему пункту. Искомая функция имеет вид $y = a(x + m)^2$, её вершина находится в точке $(-m, 0)$.

1. Найдём вершину параболы на графике.
Из рисунка «б» видно, что вершина параболы (её самая верхняя точка) находится в точке с координатами $(1, 0)$.

2. Определим значение $m$.
Приравниваем абсциссу вершины к $-m$:
$-m = 1$
Отсюда получаем, что $m = -1$.
Уравнение функции принимает вид $y = a(x + (-1))^2$ или $y = a(x - 1)^2$.

3. Определим значение коэффициента $a$.
Выберем на графике другую точку. Например, парабола проходит через точку с координатами $(0, -2)$. Подставим значения $x=0$ и $y=-2$ в полученное уравнение:

$-2 = a(0 - 1)^2$
$-2 = a \cdot (-1)^2$
$-2 = a \cdot 1$
$a = -2$

Коэффициент $a = -2$ является отрицательным, что соответствует направлению ветвей параболы вниз, как и показано на графике.

4. Запишем итоговую формулу.
Подставив найденные значения $a = -2$ и $m = -1$ в исходный вид функции, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $y = -2(x - 1)^2$