Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

326. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2$ функцию, график которой изображён на рисунке 56.

Рис. 56

а

б

а

Заданная функция имеет вид $y = a(x + m)^2$. Это уравнение параболы, вершина которой находится на оси абсцисс. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ — это $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. В нашем случае уравнение можно переписать как $y = a(x - (-m))^2 + 0$. Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(-m, 0)$.

1. Найдём вершину параболы на графике.
Из рисунка «а» видно, что вершина параболы (её самая нижняя точка) находится в точке с координатами $(-4, 0)$.

2. Определим значение $m$.
Поскольку координаты вершины равны $(-m, 0)$, мы можем приравнять абсциссу найденной вершины к $-m$:
$-m = -4$
Отсюда получаем, что $m = 4$.
Теперь уравнение функции принимает вид $y = a(x + 4)^2$.

3. Определим значение коэффициента $a$.
Для этого выберем на графике любую другую точку, через которую проходит парабола. Удобно взять точку пересечения с осью $y$. Из графика видно, что парабола проходит через точку с координатами $(0, 8)$. Подставим эти значения ($x=0$ и $y=8$) в наше уравнение:

$8 = a(0 + 4)^2$
$8 = a \cdot 4^2$
$8 = 16a$
$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Коэффициент $a = \frac{1}{2}$ является положительным, что соответствует направлению ветвей параболы вверх, как и показано на графике.

4. Запишем итоговую формулу.
Подставив найденные значения $a = \frac{1}{2}$ и $m = 4$ в исходный вид функции, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $y = \frac{1}{2}(x + 4)^2$

б

Действуем аналогично предыдущему пункту. Искомая функция имеет вид $y = a(x + m)^2$, её вершина находится в точке $(-m, 0)$.

1. Найдём вершину параболы на графике.
Из рисунка «б» видно, что вершина параболы (её самая верхняя точка) находится в точке с координатами $(1, 0)$.

2. Определим значение $m$.
Приравниваем абсциссу вершины к $-m$:
$-m = 1$
Отсюда получаем, что $m = -1$.
Уравнение функции принимает вид $y = a(x + (-1))^2$ или $y = a(x - 1)^2$.

3. Определим значение коэффициента $a$.
Выберем на графике другую точку. Например, парабола проходит через точку с координатами $(0, -2)$. Подставим значения $x=0$ и $y=-2$ в полученное уравнение:

$-2 = a(0 - 1)^2$
$-2 = a \cdot (-1)^2$
$-2 = a \cdot 1$
$a = -2$

Коэффициент $a = -2$ является отрицательным, что соответствует направлению ветвей параболы вниз, как и показано на графике.

4. Запишем итоговую формулу.
Подставив найденные значения $a = -2$ и $m = -1$ в исходный вид функции, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $y = -2(x - 1)^2$

327. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 57.

Рис. 57

a

б

в

Для нахождения формулы функции вида $y = a(x + m)^2 + n$ по её графику, мы будем использовать вершинную форму параболы $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины. Сравнивая эти две формы, мы видим, что $x_v = -m$ (или $m = -x_v$) и $y_v = n$.

Алгоритм для каждого графика будет следующим:
1. Определить координаты вершины $(x_v, y_v)$ по графику.
2. Найти $m$ и $n$.
3. Выбрать любую другую точку на параболе с легко читаемыми координатами.
4. Подставить координаты вершины и выбранной точки в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$.
5. Записать итоговую формулу.

а

1. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, -4)$.
Следовательно, $x_v = -2$ и $y_v = -4$.

2. Найдём значения $m$ и $n$:
$m = -x_v = -(-2) = 2$
$n = y_v = -4$

3. Уравнение принимает вид $y = a(x + 2)^2 - 4$. Для нахождения $a$ выберем на графике точку, например, $(0, 0)$.

4. Подставим координаты точки $(0, 0)$ в уравнение:
$0 = a(0 + 2)^2 - 4$
$0 = a \cdot 4 - 4$
$4a = 4$
$a = 1$

5. Итоговая формула функции:
$y = 1 \cdot (x + 2)^2 - 4$
Ответ: $y = (x + 2)^2 - 4$.

б

1. Вершина этой параболы находится в точке $(2, 5)$.
Следовательно, $x_v = 2$ и $y_v = 5$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому коэффициент $a$ должен быть отрицательным.

2. Найдём значения $m$ и $n$:
$m = -x_v = -2$
$n = y_v = 5$

3. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2 + 5$. Для нахождения $a$ выберем на графике точку, например, $(1, 4)$.

4. Подставим координаты точки $(1, 4)$ в уравнение:
$4 = a(1 - 2)^2 + 5$
$4 = a \cdot (-1)^2 + 5$
$4 = a + 5$
$a = -1$

5. Итоговая формула функции:
$y = -1 \cdot (x - 2)^2 + 5$
Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 5$.

в

1. Вершина параболы находится в точке $(3, 1)$.
Следовательно, $x_v = 3$ и $y_v = 1$.

2. Найдём значения $m$ и $n$:
$m = -x_v = -3$
$n = y_v = 1$

3. Уравнение принимает вид $y = a(x - 3)^2 + 1$. Для нахождения $a$ выберем на графике точку, например, $(1, 4)$.

4. Подставим координаты точки $(1, 4)$ в уравнение:
$4 = a(1 - 3)^2 + 1$
$4 = a \cdot (-2)^2 + 1$
$4 = 4a + 1$
$3 = 4a$
$a = \frac{3}{4}$

5. Итоговая формула функции:
Ответ: $y = \frac{3}{4}(x - 3)^2 + 1$.