Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

324. Задайте формулой вида $y = ax^2 + n$ функцию, график которой изображён на рисунке 54.

Рис. 54

а

б

а) Общий вид функции — $y = ax^2 + n$. Это парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке $(0, n)$.

Из графика 'а' видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(0, -3)$. Следовательно, параметр $n = -3$.

Теперь уравнение имеет вид $y = ax^2 - 3$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку, принадлежащую параболе, например, точку с координатами $(2, 1)$. Подставим значения $x=2$ и $y=1$ в уравнение:

$1 = a \cdot (2)^2 - 3$

$1 = 4a - 3$

$4 = 4a$

$a = 1$

Таким образом, искомая формула функции: $y = 1 \cdot x^2 - 3$ или $y = x^2 - 3$.

Ответ: $y = x^2 - 3$

б) Аналогично пункту 'а', определим параметры для функции, график которой изображен на рисунке 'б'.

Вершина этой параболы находится в точке $(0, 4)$, значит, $n = 4$.

Уравнение принимает вид $y = ax^2 + 4$.

Ветви параболы направлены вниз, поэтому коэффициент $a$ должен быть отрицательным.

Выберем на графике точку, например, с координатами $(2, 0)$. Подставим значения $x=2$ и $y=0$ в уравнение:

$0 = a \cdot (2)^2 + 4$

$0 = 4a + 4$

$4a = -4$

$a = -1$

Таким образом, искомая формула функции: $y = -1 \cdot x^2 + 4$ или $y = -x^2 + 4$.

Ответ: $y = -x^2 + 4$

325. Задайте формулой вида $y = a(x + m)^2$ функцию, график которой изображён на рисунке 55.

Рис. 55

a

б

а. Заданная функция имеет вид $y = a(x + m)^2$. Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке с координатами $(-m, 0)$. По графику на рисунке а, мы видим, что вершина параболы — это точка $(2, 0)$. Приравнивая координаты, получаем: $-m = 2$, следовательно, $m = -2$. Уравнение принимает вид $y = a(x - 2)^2$. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике другую точку, например, $(0, 4)$, через которую проходит парабола. Подставим координаты этой точки в уравнение: $4 = a(0 - 2)^2$, что дает $4 = a \cdot 4$, откуда $a=1$. Таким образом, искомая функция задается формулой $y = (x - 2)^2$.
Ответ: $y = (x - 2)^2$.

б. Аналогично, для графика на рисунке б, вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$. Из вида уравнения $y = a(x + m)^2$ следует, что координаты вершины равны $(-m, 0)$. Значит, $-m = -3$, откуда $m = 3$. Уравнение принимает вид $y = a(x + 3)^2$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому коэффициент $a$ должен быть отрицательным. Для его нахождения выберем на графике точку, например, $(-2, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a(-2 + 3)^2$, что дает $-1 = a \cdot 1^2$, откуда $a = -1$. Таким образом, искомая функция задается формулой $y = -(x + 3)^2$.
Ответ: $y = -(x + 3)^2$.