Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно получить график функции $y = f(x) + b$, используя график функции $y = f(x)$?

1.

Чтобы получить график функции $y = f(x) + b$ из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси ординат (оси OY).

Это преобразование основано на том, что для любого значения аргумента $x$ значение новой функции $y = f(x) + b$ будет на $b$ единиц больше (или меньше, если $b$ отрицательно), чем значение исходной функции $y = f(x)$.

Рассмотрим произвольную точку $(x_0, y_0)$, принадлежащую графику функции $y = f(x)$. Это означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$. Для нового графика функции $y = f(x) + b$ при том же значении аргумента $x_0$ значение функции будет равно $f(x_0) + b = y_0 + b$. Таким образом, каждой точке $(x_0, y_0)$ исходного графика ставится в соответствие точка $(x_0, y_0 + b)$ на новом графике.

Геометрически это означает сдвиг всех точек графика по вертикали. Направление и величина этого сдвига определяются знаком и значением константы $b$:
• Если $b > 0$, то график функции $y = f(x)$ сдвигается вверх (вдоль положительного направления оси OY) на $b$ единиц.
• Если $b < 0$, то график функции $y = f(x)$ сдвигается вниз (вдоль отрицательного направления оси OY) на $|b|$ единиц.

Например, чтобы построить график функции $y = x^2 + 2$, нужно взять график параболы $y = x^2$ и сдвинуть его на 2 единицы вверх. Чтобы построить график $y = \cos(x) - 1$, нужно график косинусоиды $y = \cos(x)$ сдвинуть на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его параллельного переноса вдоль оси ординат OY. Если $b > 0$, перенос выполняется на $b$ единиц вверх; если $b < 0$, перенос выполняется на $|b|$ единиц вниз.

2. Какая фигура является графиком функции $y = x^2 + b$?

Функция, заданная формулой $y = x^2 + b$, является квадратичной функцией. Общий вид квадратичной функции — $y = ax^2 + cx + d$, где $a \neq 0$. В данном случае коэффициент $a=1$, коэффициент при $x$ равен 0, а свободный член равен $b$.

Графиком любой квадратичной функции является кривая, которая называется параболой.

Рассмотрим данную функцию более подробно. Она получается из графика базовой функции $y = x^2$ путем преобразования, а именно — параллельного переноса вдоль оси ординат (оси OY).

Графиком функции $y = x^2$ является стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Прибавление константы $b$ к $x^2$ сдвигает каждую точку этой параболы по вертикали на $b$ единиц.

- Если $b > 0$, то парабола $y = x^2$ сдвигается вверх на $b$ единиц. Вершина новой параболы будет в точке $(0, b)$.

- Если $b < 0$, то парабола $y = x^2$ сдвигается вниз на $|b|$ единиц. Вершина новой параболы будет в точке $(0, b)$.

- Если $b = 0$, то мы получаем исходную параболу $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$.

Таким образом, при любом значении параметра $b$ форма графика не меняется, происходит только его смещение по вертикали. Следовательно, фигура, являющаяся графиком функции $y = x^2 + b$, — это парабола.

Ответ: Парабола.

3. Как можно получить график функции $y = f(x + a)$, используя график функции $y = f(x)$?

Чтобы получить график функции $y = f(x + a)$ из графика функции $y = f(x)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Направление и величина этого сдвига зависят от знака и модуля числа $a$.

Существует два случая:

1. Если $a > 0$ (например, $y = f(x+2)$)
График функции $y = f(x)$ необходимо сдвинуть влево вдоль оси Ox на $a$ единиц. Это происходит потому, что для того, чтобы аргумент новой функции $x+a$ принял некоторое значение $x_0$, сама переменная $x$ должна быть на $a$ меньше, то есть $x = x_0 - a$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0 - a, y_0)$ на новом графике.

2. Если $a < 0$ (например, $y = f(x-3)$)
График функции $y = f(x)$ необходимо сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $|a|$ единиц (то есть на величину $-a$, так как $a$ отрицательно). В этом случае, чтобы аргумент $x+a$ принял значение $x_0$, переменная $x$ должна быть равна $x_0 - a$. Поскольку $a$ отрицательно, вычитание $a$ равносильно прибавлению положительного числа $|a|$. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0 - a, y_0)$, что соответствует сдвигу вправо.

Ответ: График функции $y = f(x + a)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ с помощью сдвига вдоль оси абсцисс. Если $a > 0$, то сдвиг производится влево на $a$ единиц. Если $a < 0$, то сдвиг производится вправо на $|a|$ единиц.

4. Какая фигура является графиком функции $y = (x + a)^2$?

Данное уравнение $y = (x + a)^2$ является уравнением квадратичной функции. Если раскрыть скобки, мы получим $y = x^2 + 2ax + a^2$, что соответствует общему виду квадратичной функции $y = Ax^2 + Bx + C$ (где $A=1$, $B=2a$, $C=a^2$).

Графиком любой квадратичной функции является кривая, которая называется парабола.

Более детально, график функции $y = (x + a)^2$ получается из графика базовой функции $y = x^2$ путем горизонтального сдвига вдоль оси абсцисс (оси Ox). График $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Преобразование вида $f(x+a)$ сдвигает исходный график $f(x)$ на $|a|$ единиц влево, если $a > 0$, и на $|a|$ единиц вправо, если $a < 0$. Таким образом, вершина параболы $y = (x + a)^2$ смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-a, 0)$. Форма параболы и направление ее ветвей (вверх) при этом сохраняются.

Ответ: парабола.

5. Какая фигура является графиком функции $y = k(x+a)^2 + b$, где $k \neq 0$?

Функция, заданная уравнением $y = k(x + a)^2 + b$ при условии, что $k \neq 0$, является квадратичной функцией.

Чтобы в этом убедиться, можно раскрыть скобки в уравнении:
$y = k(x^2 + 2ax + a^2) + b$
$y = kx^2 + 2akx + ka^2 + b$

Полученное уравнение имеет вид $y = Ax^2 + Bx + C$, где $A = k$, $B = 2ak$ и $C = ka^2 + b$. Так как по условию коэффициент $k \neq 0$, то и старший коэффициент $A$ не равен нулю, что и определяет данную функцию как квадратичную.

Графиком любой квадратичной функции является геометрическая фигура, которая называется парабола.

Исходная форма записи $y = k(x + a)^2 + b$ называется вершинной, поскольку она наглядно показывает, как парабола расположена на координатной плоскости. Она получается из графика простейшей параболы $y = kx^2$ с помощью геометрических преобразований:
1. График функции $y = kx^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Коэффициент $k$ определяет "ширину" параболы и направление ее ветвей. Если $k > 0$, ветви направлены вверх, если $k < 0$ — вниз.
2. Прибавление константы $a$ к аргументу $x$ (т.е. $(x+a)$) сдвигает график вдоль оси абсцисс на $|a|$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг происходит влево, если $a < 0$ — вправо. Вершина параболы перемещается в точку $(-a, 0)$.
3. Прибавление константы $b$ ко всей функции сдвигает график вдоль оси ординат на $|b|$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх, если $b < 0$ — вниз. Вершина параболы перемещается в точку $(-a, b)$.

Таким образом, все эти преобразования (растяжение/сжатие, отражение и сдвиги) не меняют сути фигуры, а лишь изменяют ее положение, ориентацию и "ширину". Фигура, которая является графиком функции $y = k(x + a)^2 + b$, — это всегда парабола.

Ответ: Парабола.

6. Каковы координаты вершины параболы $y = k(x + a)^2 + b$?

Уравнение параболы $y = k(x + a)^2 + b$ представлено в вершинной форме. Общий вид уравнения параболы в вершинной форме, также известной как канонический вид, записывается как $y = k(x - x_0)^2 + y_0$, где точка с координатами $(x_0, y_0)$ является вершиной параболы.

Чтобы найти координаты вершины для данного уравнения, мы можем сопоставить его с общей формой.

Данное уравнение: $y = k(x + a)^2 + b$.

Общая форма: $y = k(x - x_0)^2 + y_0$.

Перепишем данное уравнение, чтобы оно точно соответствовало структуре общей формы: $y = k(x - (-a))^2 + b$.

Теперь, сравнивая два уравнения, мы видим, что:

Абсцисса вершины $x_0$ соответствует $-a$.

Ордината вершины $y_0$ соответствует $b$.

Следовательно, координаты вершины параболы — $(-a, b)$.

Альтернативное объяснение:

Вершина параболы — это точка экстремума функции (минимума или максимума). Значение выражения в скобках в квадрате, $(x+a)^2$, всегда неотрицательно, т.е. $(x+a)^2 \ge 0$.

1. Если коэффициент $k > 0$, ветви параболы направлены вверх, и вершина является точкой минимума. Минимальное значение функции достигается, когда слагаемое $k(x+a)^2$ принимает наименьшее возможное значение. Это происходит, когда $(x+a)^2 = 0$, что равносильно $x+a = 0$, или $x = -a$. Подставив это значение $x$ в уравнение, найдем ординату вершины: $y = k(-a+a)^2 + b = k \cdot 0^2 + b = b$.

2. Если коэффициент $k < 0$, ветви параболы направлены вниз, и вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции достигается, когда слагаемое $k(x+a)^2$ принимает наибольшее возможное значение (которое равно 0, так как $k<0$ и $(x+a)^2 \ge 0$). Это также происходит при $x = -a$. Ордината вершины при этом будет: $y = k(-a+a)^2 + b = k \cdot 0^2 + b = b$.

В обоих случаях координаты вершины параболы — это точка $(-a, b)$.

Ответ: $(-a, b)$