Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

301. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} -2, \text{ если } x < -1, \\ -2x^2, \text{ если } -1 \leq x \leq 0, \\ 2x^2, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график каждой из трех функций на соответствующем промежутке.

Построение графика функции

1. На промежутке $x < -1$ функция имеет вид $y = -2$. Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(-1, -2)$ и идущий влево параллельно оси Ox. Точка $(-1, -2)$ не принадлежит этому лучу (она будет "выколотой"), так как неравенство строгое ($x < -1$).

2. На промежутке $-1 \le x \le 0$ функция имеет вид $y = -2x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах этого промежутка:
- при $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
Так как неравенство $-1 \le x \le 0$ нестрогое, обе точки $(-1, -2)$ и $(0, 0)$ принадлежат графику. Точка $(-1, -2)$ "закрашивает" выколотую точку с предыдущего шага.

3. На промежутке $x > 0$ функция имеет вид $y = 2x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Этот участок графика начинается от точки $(0, 0)$ (которая уже включена в график на предыдущем шаге) и идет вправо и вверх. Для более точного построения найдем еще одну точку, например:
- при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1^2 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

Соединив все три части, мы получаем итоговый график функции. Он состоит из горизонтального луча, переходящего в участок параболы с ветвями вниз, который в свою очередь в точке $(0, 0)$ переходит в участок параболы с ветвями вверх.

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Проанализируем поведение функции, двигаясь по графику слева направо (в направлении возрастания $x$).

- На промежутке $(-\infty, -1)$ график представляет собой горизонтальную линию на уровне $y=-2$. Значение функции не изменяется, следовательно, на этом промежутке функция является постоянной.

- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вверх от точки $(-1, -2)$ до точки $(0, 0)$. Это означает, что при увеличении $x$ от $-1$ до $0$, значение $y$ увеличивается от $-2$ до $0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

- На промежутке $(0, \infty)$ график также идет вверх от точки $(0, 0)$. При увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Следовательно, на этом промежутке функция также возрастает.

Объединяя два промежутка возрастания, получаем, что функция возрастает на всем промежутке от $x=-1$ до $+\infty$.

Промежутков, где график шел бы вниз (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшалось бы), на графике нет. Следовательно, у функции нет промежутков убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, \infty)$; промежутков убывания нет.

302. Докажите тождество:

$(\frac{m - n}{m^2 + mn} - \frac{m}{mn + n^2}) : (\frac{n^2}{m^3 - mn^2} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку, и покажем, что она равна правой части.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \left( \frac{m-n}{m^2+mn} - \frac{m}{mn+n^2} \right) $.

Разложим знаменатели на множители: $ m^2+mn = m(m+n) $ и $ mn+n^2 = n(m+n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ mn(m+n) $:

$ \frac{m-n}{m(m+n)} - \frac{m}{n(m+n)} = \frac{n(m-n)}{mn(m+n)} - \frac{m \cdot m}{mn(m+n)} = \frac{n(m-n) - m^2}{mn(m+n)} $

Раскроем скобки и преобразуем числитель:

$ \frac{mn - n^2 - m^2}{mn(m+n)} = \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} $

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ \left( \frac{n^2}{m^3-mn^2} + \frac{1}{m+n} \right) $.

Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $ m^3-mn^2 = m(m^2-n^2) = m(m-n)(m+n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ m(m-n)(m+n) $:

$ \frac{n^2}{m(m-n)(m+n)} + \frac{1 \cdot m(m-n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{n^2 + m(m-n)}{m(m-n)(m+n)} $

Раскроем скобки и преобразуем числитель:

$ \frac{n^2 + m^2 - mn}{m(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + n^2}{m(m-n)(m+n)} $

3. Выполним деление результатов. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} : \frac{m^2 - mn + n^2}{m(m-n)(m+n)} = \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} \cdot \frac{m(m-n)(m+n)}{m^2 - mn + n^2} $

Сократим общие множители $ (m^2 - mn + n^2) $, $ m $ и $ (m+n) $:

$ \frac{-1 \cdot \cancel{(m^2 - mn + n^2)}}{\cancel{m} n \cancel{(m+n)}} \cdot \frac{\cancel{m}(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{m^2 - mn + n^2}} = \frac{-1}{n} \cdot (m-n) = \frac{-(m-n)}{n} = \frac{n-m}{n} $

В результате преобразований левая часть тождества равна $ \frac{n-m}{n} $, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

303. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $b \ge a$;

2) $\sqrt{c^2 + 6c + 9}$, если $c \ge -3$;

3) $\frac{\sqrt{(m - 5)^4}}{m^2 - 10m + 25}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

Теперь необходимо раскрыть модуль, используя заданное условие $b \ge a$. Это неравенство можно переписать в виде $a - b \le 0$.

По определению модуля, если подмодульное выражение является отрицательным или равно нулю (неположительным), то его модуль равен противоположному выражению. То есть, $|a-b| = -(a-b)$, так как $a-b \le 0$.

Раскрываем скобки: $-(a-b) = -a + b = b - a$.

Ответ: $b - a$.

2) Рассмотрим подкоренное выражение $c^2 + 6c + 9$. Заметим, что это выражение является полным квадратом.

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=c$ и $y=3$, поэтому $c^2 + 6c + 9 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c+3)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(c+3)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(c+3)^2} = |c+3|$.

По условию задачи $c \ge -3$. Перенесем $-3$ в левую часть неравенства, чтобы оценить знак подмодульного выражения: $c+3 \ge 0$.

Так как выражение $c+3$ неотрицательно, то по определению модуля $|c+3| = c+3$.

Ответ: $c+3$.

3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{(m-5)^4}}{m^2 - 10m + 25}$. Для этого преобразуем числитель и знаменатель.

Преобразуем числитель: $\sqrt{(m-5)^4}$. Мы можем записать это как $\sqrt{((m-5)^2)^2}$. По свойству корня $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем $|(m-5)^2|$. Выражение $(m-5)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любом значении $m$. Следовательно, его модуль равен самому выражению: $|(m-5)^2| = (m-5)^2$.

Преобразуем знаменатель: $m^2 - 10m + 25$. Это формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=m, y=5$, поэтому $m^2 - 10m + 25 = (m-5)^2$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь: $\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2}$.

Данное выражение определено, если знаменатель не равен нулю, то есть $(m-5)^2 \ne 0$, откуда $m \ne 5$. При этом условии мы можем сократить числитель и знаменатель.

$\frac{(m-5)^2}{(m-5)^2} = 1$.

Ответ: $1$.

304. Для перевозки 45 т груза планировали взять автомобиль некоторой грузоподъёмности. Однако из-за его неисправности пришлось взять другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 т меньше, чем первого. Из-за этого потребовалось сделать на 6 рейсов больше, чем было запланировано. Найдите грузоподъёмность (полную загрузку) автомобиля, который перевёз груз.

Пусть $x$ тонн — грузоподъёмность автомобиля, который планировали взять для перевозки груза. В этом случае для перевозки 45 тонн груза потребовалось бы сделать $\frac{45}{x}$ рейсов.

Однако из-за неисправности пришлось взять другой автомобиль, грузоподъёмность которого на 2 тонны меньше, то есть $(x-2)$ тонны. Этот автомобиль для перевозки всего груза сделал $\frac{45}{x-2}$ рейсов.

По условию задачи, второму автомобилю потребовалось сделать на 6 рейсов больше, чем планировалось для первого. На основе этих данных можно составить уравнение:

$\frac{45}{x-2} - \frac{45}{x} = 6$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{45x - 45(x-2)}{x(x-2)} = 6$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{45x - 45x + 90}{x^2 - 2x} = 6$

$\frac{90}{x^2 - 2x} = 6$

Это уравнение является пропорцией. При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$, можно записать:

$6(x^2 - 2x) = 90$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 - 2x = 15$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15. Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Поскольку грузоподъёмность автомобиля ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, грузоподъёмность первого, планируемого, автомобиля составляет $x = 5$ тонн.

В вопросе требуется найти грузоподъёмность автомобиля, который перевёз груз. Это грузоподъёмность второго автомобиля, которая равна $x - 2$.

$5 - 2 = 3$ (тонны).

Ответ: 3 тонны.

305. Какое наименьшее значение может принимать данное выражение и при каком значении переменной:

1) $(x - 6)^2 + 3;$

2) $(x + 4)^2 - 5;$

3) $x^2 + 2x - 6;$

4) $x^2 - 10x + 18?$

1) $(x - 6)^2 + 3$

Данное выражение состоит из двух слагаемых: $(x - 6)^2$ и $3$. Слагаемое $3$ является константой. Слагаемое $(x - 6)^2$ является квадратом выражения, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. То есть, $(x - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение слагаемого $(x - 6)^2$ равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 6 = 0$

$x = 6$

При $x = 6$ всё выражение принимает своё наименьшее значение:

$(6 - 6)^2 + 3 = 0^2 + 3 = 3$

Ответ: наименьшее значение равно 3 при $x = 6$.

2) $(x + 4)^2 - 5$

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, выражение $(x + 4)^2$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при условии:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Подставим это значение $x$ в исходное выражение, чтобы найти его наименьшее значение:

$(-4 + 4)^2 - 5 = 0^2 - 5 = -5$

Ответ: наименьшее значение равно -5 при $x = -4$.

3) $x^2 + 2x - 6$

Это выражение является квадратичной функцией. Чтобы найти её наименьшее значение, преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Для этого используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2x - 6 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 - 6$

Мы добавили и вычли $1^2$ (то есть 1), чтобы можно было "свернуть" часть выражения в полный квадрат, не изменив при этом само выражение.

$(x^2 + 2x + 1) - 1 - 6 = (x + 1)^2 - 7$

Теперь выражение приведено к виду, аналогичному первым двум заданиям. Наименьшее значение $(x + 1)^2$ равно 0 и достигается при $x = -1$.

Наименьшее значение всего выражения: $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение равно -7 при $x = -1$.

4) $x^2 - 10x + 18$

Также выделим полный квадрат, используя на этот раз формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 10x + 18 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 18$

Мы добавили и вычли $5^2$ (то есть 25), чтобы выделить полный квадрат.

$(x^2 - 10x + 25) - 25 + 18 = (x - 5)^2 - 7$

Выражение $(x - 5)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $x - 5 = 0$, то есть при $x = 5$.

Наименьшее значение всего выражения: $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение равно -7 при $x = 5$.

306. Для покраски одной грани кубика требуется 10 с. За какое наименьшее время 6 человек могут покрасить 101 кубик? (Два человека не могут одновременно красить один кубик.)

Для решения этой задачи необходимо найти наиболее эффективный способ распределения работы между 6 малярами, чтобы минимизировать общее время покраски 101 кубика.

1. Расчет времени на покраску одного кубика

Каждый кубик имеет 6 граней. По условию, на покраску одной грани уходит 10 секунд. Следовательно, время, которое один человек тратит на полную покраску одного кубика, составляет: $T_{1\ кубик} = 6 \text{ граней} \times 10 \frac{\text{с}}{\text{грань}} = 60 \text{ с}$

2. Определение общей трудоемкости и теоретического минимума времени

Общий объем работы – это покраска 101 кубика. В единицах человеко-секунд это составляет: $W_{общ} = 101 \text{ кубик} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 6060 \text{ человеко-секунд}$

Если бы работу можно было разделить идеально равномерно без каких-либо простоев, то минимальное время с 6 работниками составило бы: $T_{мин\_теор} = \frac{W_{общ}}{6 \text{ человек}} = \frac{6060 \text{ с}}{6} = 1010 \text{ с}$

Однако этот результат предполагает, что все 6 человек могут быть непрерывно заняты работой на протяжении всего времени, что не всегда возможно из-за неделимости задач (кубиков).

3. Стратегия распределения работы

Поскольку два человека не могут красить один кубик одновременно, но могут параллельно красить разные кубики, наиболее эффективной стратегией будет распределение всех кубиков между работниками. Чтобы общее время было минимальным, нужно, чтобы работник, который закончит последним, потратил как можно меньше времени. Это достигается путем максимально равномерного распределения кубиков.

Разделим 101 кубик на 6 человек: $101 \div 6 = 16 \text{ с остатком } 5$

Это означает, что для наиболее равномерного распределения, 5 человек должны покрасить по $16 + 1 = 17$ кубиков, а один человек покрасит оставшиеся 16 кубиков.

Проверка: $5 \times 17 + 1 \times 16 = 85 + 16 = 101$ кубик.

4. Расчет наименьшего времени

Теперь рассчитаем время, которое потребуется каждой группе работников:

• Время для 5 работников, красящих по 17 кубиков: $T_1 = 17 \text{ кубиков} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 1020 \text{ с}$
• Время для 1 работника, красящего 16 кубиков: $T_2 = 16 \text{ кубиков} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{кубик}} = 960 \text{ с}$

Вся работа будет завершена, когда закончит последний работник. Максимальное время среди всех работников составляет 1020 секунд. Таким образом, это и есть наименьшее возможное время для выполнения всей работы при данной стратегии.

Это время (1020 с) больше теоретического минимума (1010 с), так как невозможно загрузить всех работников работой на 100% времени из-за того, что количество кубиков (101) не делится нацело на количество работников (6). Один работник заканчивает раньше и простаивает 60 секунд ($1020 - 960 = 60$).

Ответ: 1020 секунд.