Номер 302, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

302. Докажите тождество:

$(\frac{m - n}{m^2 + mn} - \frac{m}{mn + n^2}) : (\frac{n^2}{m^3 - mn^2} + \frac{1}{m + n}) = \frac{n - m}{n}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку, и покажем, что она равна правой части.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $ \left( \frac{m-n}{m^2+mn} - \frac{m}{mn+n^2} \right) $.

Разложим знаменатели на множители: $ m^2+mn = m(m+n) $ и $ mn+n^2 = n(m+n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ mn(m+n) $:

$ \frac{m-n}{m(m+n)} - \frac{m}{n(m+n)} = \frac{n(m-n)}{mn(m+n)} - \frac{m \cdot m}{mn(m+n)} = \frac{n(m-n) - m^2}{mn(m+n)} $

Раскроем скобки и преобразуем числитель:

$ \frac{mn - n^2 - m^2}{mn(m+n)} = \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} $

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $ \left( \frac{n^2}{m^3-mn^2} + \frac{1}{m+n} \right) $.

Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $ m^3-mn^2 = m(m^2-n^2) = m(m-n)(m+n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ m(m-n)(m+n) $:

$ \frac{n^2}{m(m-n)(m+n)} + \frac{1 \cdot m(m-n)}{m(m-n)(m+n)} = \frac{n^2 + m(m-n)}{m(m-n)(m+n)} $

Раскроем скобки и преобразуем числитель:

$ \frac{n^2 + m^2 - mn}{m(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + n^2}{m(m-n)(m+n)} $

3. Выполним деление результатов. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} : \frac{m^2 - mn + n^2}{m(m-n)(m+n)} = \frac{-(m^2 - mn + n^2)}{mn(m+n)} \cdot \frac{m(m-n)(m+n)}{m^2 - mn + n^2} $

Сократим общие множители $ (m^2 - mn + n^2) $, $ m $ и $ (m+n) $:

$ \frac{-1 \cdot \cancel{(m^2 - mn + n^2)}}{\cancel{m} n \cancel{(m+n)}} \cdot \frac{\cancel{m}(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{m^2 - mn + n^2}} = \frac{-1}{n} \cdot (m-n) = \frac{-(m-n)}{n} = \frac{n-m}{n} $

В результате преобразований левая часть тождества равна $ \frac{n-m}{n} $, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.