Номер 298, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

298. Докажите, что функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть поведение функции на каждом из указанных промежутков отдельно, используя определение возрастающей и убывающей функции.

Доказательство того, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.
Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 0$.
Рассмотрим разность значений функции $y=ax^2$ в этих точках:
$y(x_1) - y(x_2) = ax_1^2 - ax_2^2$
Используя формулу разности квадратов, получим:
$a(x_1^2 - x_2^2) = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$
Теперь определим знак каждого множителя в полученном выражении:
1. По условию задачи $a > 0$ (положительное число).
2. Так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$ (отрицательное число).
3. Так как $x_1 < x_2 \le 0$, то оба числа $x_1$ и $x_2$ являются неположительными, причём $x_1$ строго отрицательное. Следовательно, их сумма $x_1 + x_2 < 0$ (отрицательное число).
Произведение трёх множителей, знаки которых $(+)$, $(-)$ и $(-)$, будет положительным:
$a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) > 0$
Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция $y = ax^2$ при $a > 0$ убывает на этом промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a>0$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Доказательство того, что функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.
Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Это означает, что $0 \le x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции $y=ax^2$ в этих точках:
$y(x_1) - y(x_2) = ax_1^2 - ax_2^2 = a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$
Определим знак каждого множителя:
1. По условию $a > 0$ (положительное число).
2. Так как мы выбрали $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$ (отрицательное число).
3. Так как $0 \le x_1 < x_2$, то оба числа $x_1$ и $x_2$ являются неотрицательными, причём $x_2$ строго положительное. Следовательно, их сумма $x_1 + x_2 > 0$ (положительное число).
Произведение трёх множителей, знаки которых $(+)$, $(-)$ и $(+)$, будет отрицательным:
$a(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) < 0$
Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) < 0$, что равносильно $y(x_1) < y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция $y = ax^2$ при $a > 0$ возрастает на этом промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $y=ax^2$ при $a>0$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.