Номер 296, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

296. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 3x^2$;

2) $y = -\frac{1}{4}x^2$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для более точного построения найдем значения функции для нескольких значений аргумента $x$:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$
• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, получим график параболы $y = x^2$. Далее, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) $y = 3x^2$

График функции вида $y = k \cdot f(x)$ при $k > 1$ получается из графика $f(x)$ путем его растяжения вдоль оси ординат (OY) в $k$ раз. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $k=3$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = 3x^2$, нужно ординаты (координаты $y$) всех точек графика $y = x^2$ умножить на 3. Абсциссы (координаты $x$) при этом не меняются.

Возьмем ранее найденные точки для $y = x^2$ и преобразуем их:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, 3 \cdot 0) \rightarrow (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, 3 \cdot 1) \rightarrow (1, 3)$.
• Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, 3 \cdot 1) \rightarrow (-1, 3)$.
• Точка $(2, 4)$ перейдет в точку $(2, 3 \cdot 4) \rightarrow (2, 12)$.
• Точка $(-2, 4)$ перейдет в точку $(-2, 3 \cdot 4) \rightarrow (-2, 12)$.

Соединив новые точки, получим параболу $y = 3x^2$. Она будет более "узкой" (прижатой к оси OY), чем исходная парабола $y = x^2$. Ветви по-прежнему направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его растяжения от оси OX вдоль оси OY в 3 раза.

2) $y = -\frac{1}{4}x^2$

Построение графика функции $y = -\frac{1}{4}x^2$ из графика $y = x^2$ включает два преобразования. График функции вида $y = k \cdot f(x)$ при $k < 0$ получается из графика $f(x)$ путем растяжения/сжатия и отражения.

1. Коэффициент $\frac{1}{4}$ (по модулю $|k| < 1$) означает, что график нужно сжать вдоль оси OY в $\frac{1}{1/4} = 4$ раза.
2. Знак "минус" перед коэффициентом означает, что график нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (OX).

Таким образом, чтобы построить график $y = -\frac{1}{4}x^2$, нужно ординаты всех точек графика $y = x^2$ умножить на $-\frac{1}{4}$.

Преобразуем ключевые точки:

• Точка $(0, 0)$ останется на месте: $(0, -\frac{1}{4} \cdot 0) \rightarrow (0, 0)$.
• Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, -\frac{1}{4} \cdot 1) \rightarrow (1, -0.25)$.
• Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, -\frac{1}{4} \cdot 1) \rightarrow (-1, -0.25)$.
• Точка $(2, 4)$ перейдет в точку $(2, -\frac{1}{4} \cdot 4) \rightarrow (2, -1)$.
• Точка $(-2, 4)$ перейдет в точку $(-2, -\frac{1}{4} \cdot 4) \rightarrow (-2, -1)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим параболу $y = -\frac{1}{4}x^2$. Ее вершина находится в точке $(0, 0)$, но ветви направлены вниз. Парабола будет более "широкой" (отжатой от оси OY), чем исходная.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{4}x^2$ получается из графика $y = x^2$ путем его сжатия к оси OX в 4 раза и последующего симметричного отражения относительно оси OX.