Номер 295, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

295. На рисунке 39 изображён график функции $y = g(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}g(x);$

2) $y = -\frac{1}{2}g(x).$

Рис. 38

Рис. 39

1) $y = \frac{1}{3}g(x)$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{3}g(x)$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y = g(x)$, показанного на рисунке 39. Данное преобразование представляет собой вертикальное сжатие графика к оси абсцисс (оси $x$) с коэффициентом $\frac{1}{3}$.

Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{3}y_0)$. Абсциссы всех точек графика остаются неизменными, а их ординаты умножаются на $\frac{1}{3}$.

Рассмотрим преобразование ключевых точек исходного графика:

• Точка локального максимума $(-2, 3)$ переходит в точку $(-2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (-2, 1)$.
• Точка локального минимума $(0, -3)$ переходит в точку $(0, \frac{1}{3} \cdot (-3)) = (0, -1)$.
• Точка локального максимума $(2, 3)$ переходит в точку $(2, \frac{1}{3} \cdot 3) = (2, 1)$.
• Точки пересечения с осью $x$ (нули функции), такие как $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$, остаются на своих местах, так как их ордината равна нулю, и $\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Таким образом, новый график будет иметь ту же форму, что и исходный, но будет "сплюснут" по вертикали в 3 раза.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси $y$ в 3 раза. Точки пересечения с осью $x$ остаются прежними. Локальные максимумы, равные 3, становятся равными 1, а локальный минимум, равный -3, становится равным -1.

2) $y = -\frac{1}{2}g(x)$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$ необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = g(x)$:

1. Вертикальное сжатие к оси $x$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси $x$.

Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -\frac{1}{2}y_0)$. Абсциссы точек остаются без изменений, а их ординаты умножаются на $-\frac{1}{2}$.

Рассмотрим преобразование ключевых точек:

• Точка локального максимума $(-2, 3)$ переходит в точку $(-2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (-2, -1.5)$. Бывший максимум становится минимумом.
• Точка локального минимума $(0, -3)$ переходит в точку $(0, -\frac{1}{2} \cdot (-3)) = (0, 1.5)$. Бывший минимум становится максимумом.
• Точка локального максимума $(2, 3)$ переходит в точку $(2, -\frac{1}{2} \cdot 3) = (2, -1.5)$. Бывший максимум становится минимумом.
• Точки пересечения с осью $x$ остаются на своих местах, так как их ордината равна нулю, и $-\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Новый график будет сжат по вертикали в 2 раза и "перевернут" относительно оси $x$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}g(x)$ получается из графика $y = g(x)$ путем сжатия вдоль оси $y$ в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси $x$. Точки пересечения с осью $x$ не изменяются. Локальные максимумы исходного графика становятся локальными минимумами со значением $-1.5$, а локальный минимум становится локальным максимумом со значением $1.5$.