Номер 300, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

300. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le -2, \\ -2x, \text{ если } -2 < x < 2, \\ -x^2, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо последовательно построить график каждой из трех частей на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $x \le -2$ строим график функции $y = x^2$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем значения в нескольких точках:

• Граничная точка: при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое ($x \le -2$).
• Контрольная точка: при $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$.

2. На промежутке $-2 < x < 2$ строим график функции $y = -2x$.
Это часть прямой линии. Для ее построения найдем координаты граничных точек интервала:

• При $x = -2$, $y = -2(-2) = 4$. Точка $(-2, 4)$ выколотая, так как неравенство строгое ($x > -2$).
• При $x = 2$, $y = -2(2) = -4$. Точка $(2, -4)$ также выколотая ($x < 2$).

Соединяем эти точки отрезком.

3. На промежутке $x \ge 2$ строим график функции $y = -x^2$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем значения в точках:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ закрашенная ($x \ge 2$).
• Контрольная точка: при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$.

Объединим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x = -2$ выколотая точка от прямой $(-2, 4)$ "закрывается" закрашенной точкой от параболы. Аналогично, в точке $x = 2$ выколотая точка от прямой $(2, -4)$ "закрывается" закрашенной точкой от второй параболы. Таким образом, функция является непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, которая состоит из трех частей: левой ветви параболы $y=x^2$ на промежутке $(-\infty, -2]$, отрезка прямой $y=-2x$ между точками $(-2, 4)$ и $(2, -4)$ на интервале $(-2, 2)$, и части параболы $y=-x^2$ на промежутке $[2, +\infty)$.

Используя построенный график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции

Для нахождения промежутков возрастания и убывания проанализируем поведение построенного графика при движении по оси $x$ слева направо.

- На промежутке $(-\infty, -2]$ график функции $y=x^2$ идет вниз. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $(-2, 2)$ график функции $y=-2x$ представляет собой прямую с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, которая также идет вниз. Следовательно, функция на этом промежутке убывает.

- На промежутке $[2, +\infty)$ график функции $y=-x^2$ идет вниз. Следовательно, функция и на этом промежутке убывает.

Так как функция убывает на каждом из трех участков и является непрерывной, она убывает на всей своей области определения. Промежутков, где график шел бы вверх, нет.

Ответ: Промежутки возрастания: нет. Промежутки убывания: $(-\infty; +\infty)$.