Номер 294, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

294. На рисунке 38 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -2f(x)$.

Для построения графиков указанных функций необходимо выполнить преобразования исходного графика функции $y=f(x)$, который должен быть изображен на рисунке 38. Так как сам рисунок в вопросе отсутствует, ниже приведено общее правило построения для каждого случая. Чтобы построить требуемый график, нужно применить эти правила к исходному графику.

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$

График функции вида $y = k \cdot f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем растяжения или сжатия вдоль оси ординат (оси OY). Абсциссы всех точек графика остаются неизменными, а ординаты умножаются на коэффициент $k$.

В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $0 < k < 1$, данное преобразование является вертикальным сжатием графика к оси абсцисс (оси OX).

Алгоритм построения:

1. Выбрать на исходном графике $y = f(x)$ несколько характерных точек (например, точки экстремумов, точки пересечения с осями). Пусть координаты одной из таких точек $(x_0, y_0)$.
2. Для каждой выбранной точки найти соответствующую точку на новом графике. Ее абсцисса останется прежней ($x_0$), а ордината станет равной $y_0 \cdot \frac{1}{2}$. Таким образом, новые координаты будут $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$.
3. Отметить полученные точки на координатной плоскости.
4. Соединить новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.
5. Обратите внимание, что точки, в которых исходный график пересекал ось OX (точки, где $y=0$), останутся на своих местах.

Ответ: Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ необходимо ординаты всех точек графика $y = f(x)$ уменьшить в 2 раза, оставив их абсциссы без изменений. Это приведет к вертикальному сжатию исходного графика к оси OX в 2 раза.

2) $y = -f(x)$

Это частный случай преобразования $y = k \cdot f(x)$, где коэффициент $k = -1$.

Умножение функции на $-1$ приводит к изменению знака всех ординат точек графика на противоположный, в то время как абсциссы остаются неизменными. Геометрически это соответствует симметричному отражению (зеркальному отображению) графика относительно оси абсцисс (оси OX).

Алгоритм построения:

1. Для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ найти соответствующую точку $(x_0, -y_0)$ нового графика.
2. Построить новый график, который будет являться зеркальным отражением исходного графика относительно оси OX.
3. Части графика, которые были выше оси OX, окажутся ниже, и наоборот. Точки на оси OX останутся на месте.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y = f(x)$ относительно оси OX.

3) $y = -2f(x)$

В этом случае коэффициент преобразования $k = -2$. Данное преобразование можно рассматривать как комбинацию двух действий:

• Вертикальное растяжение от оси OX в 2 раза (так как $|k| = 2 > 1$).
• Симметричное отражение относительно оси OX (так как $k < 0$).

Алгоритм построения:

1. Выбрать на исходном графике $y = f(x)$ характерные точки с координатами $(x_0, y_0)$.
2. Для каждой точки вычислить новую ординату, умножив старую на $-2$. Новые координаты будут $(x_0, -2y_0)$.
3. Например, если на исходном графике была точка $(3, 4)$, то на новом графике ей будет соответствовать точка $(3, -2 \cdot 4) = (3, -8)$. Если была точка $(5, -1)$, то новая точка будет $(5, -2 \cdot (-1)) = (5, 2)$.
4. Отметить новые точки на координатной плоскости и соединить их линией, повторяющей форму исходного графика.
5. Точки пересечения с осью OX останутся неподвижными.

Ответ: Для построения графика функции $y = -2f(x)$ необходимо ординаты всех точек графика $y = f(x)$ умножить на $-2$. Геометрически это соответствует растяжению исходного графика от оси OX в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси OX.