Номер 287, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

287. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = x + 4.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, не выполняя построения, нужно приравнять их правые части. Координаты $(x; y)$ точек пересечения являются решениями системы уравнений, задающих эти функции.

Даны функции $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$\frac{1}{3}x^2 = 3$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Из второго уравнения $y = 3$ следует, что ордината для обеих точек пересечения равна 3.

Таким образом, получаем две точки пересечения:

Первая точка: $(3; 3)$.

Вторая точка: $(-3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$, $(-3; 3)$.

Даны функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = x + 4$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x^2 = x + 4$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 = 2(x + 4)$

$x^2 = 2x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = x + 4$.

При $x_1 = 4$:

$y_1 = 4 + 4 = 8$

Координаты первой точки пересечения: $(4; 8)$.

При $x_2 = -2$:

$y_2 = -2 + 4 = 2$

Координаты второй точки пересечения: $(-2; 2)$.

Ответ: $(4; 8)$, $(-2; 2)$.