Номер 7, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. На каком промежутке возрастает и на каком промежутке убывает функция $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = ax^2$, мы можем проанализировать ее график или использовать производную. Метод с использованием производной является универсальным.

1. Находим производную функции.

Функция $y(x) = ax^2$. Ее производная по $x$ равна:

$y'(x) = (ax^2)' = 2ax$

2. Определяем условия возрастания и убывания.

• Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $y'(x) > 0$.
• Функция убывает на тех промежутках, где ее производная отрицательна, то есть $y'(x) < 0$.

Точка, в которой производная равна нулю ($y'(x) = 0$), является критической точкой. В нашем случае $2ax = 0$ при $x=0$. Эта точка разделяет ось $x$ на два промежутка: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Рассмотрим поведение функции в зависимости от знака коэффициента $a$.

при $a > 0$:

В этом случае график функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Проанализируем знак производной $y'(x) = 2ax$:

• Убывание: $y'(x) < 0 \implies 2ax < 0$. Так как $a > 0$, то $2a$ — положительное число. При делении неравенства на $2a$ знак не меняется: $x < 0$. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Возрастание: $y'(x) > 0 \implies 2ax > 0$. Так как $a > 0$, делим на $2a$ без изменения знака: $x > 0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: при $a > 0$ функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

при $a < 0$:

В этом случае график функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы также находится в точке $(0, 0)$.

Проанализируем знак производной $y'(x) = 2ax$:

• Возрастание: $y'(x) > 0 \implies 2ax > 0$. Так как $a < 0$, то $2a$ — отрицательное число. При делении неравенства на $2a$ знак меняется на противоположный: $x < 0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Убывание: $y'(x) < 0 \implies 2ax < 0$. Так как $a < 0$, делим на $2a$ и меняем знак неравенства: $x > 0$. Таким образом, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: при $a < 0$ функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.