Номер 286, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

286. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y = 3x^2$ и прямой:

1) $y = 300;$

2) $y = 42x;$

3) $y = -150x;$

4) $y = 6 - 3x.$

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = 3x^2$ и заданной прямой, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций. В точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем ординаты ($y$) этих точек.

1) $y = 3x^2$ и $y = 300$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 300$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = 100$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.
Координата $y$ для обеих точек задана уравнением прямой и равна 300. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.
Первая точка: $(10, 300)$.
Вторая точка: $(-10, 300)$.
Ответ: $(10, 300)$, $(-10, 300)$.

2) $y = 3x^2$ и $y = 42x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 42x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$3x^2 - 42x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 14) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
или
$x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 42x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = 42 \cdot 0 = 0$. Первая точка: $(0, 0)$.
При $x_2 = 14$, $y_2 = 42 \cdot 14 = 588$. Вторая точка: $(14, 588)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(14, 588)$.

3) $y = 3x^2$ и $y = -150x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = -150x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 150x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x + 50) = 0$
Отсюда находим два корня:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
или
$x + 50 = 0 \implies x_2 = -50$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = -150x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = -150 \cdot 0 = 0$. Первая точка: $(0, 0)$.
При $x_2 = -50$, $y_2 = -150 \cdot (-50) = 7500$. Вторая точка: $(-50, 7500)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(-50, 7500)$.

4) $y = 3x^2$ и $y = 6 - 3x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 6 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 + 3x - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:
$x^2 + x - 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 6 - 3x$.
При $x_1 = 1$, $y_1 = 6 - 3 \cdot 1 = 3$. Первая точка: $(1, 3)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 6 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12$. Вторая точка: $(-2, 12)$.
Ответ: $(1, 3)$, $(-2, 12)$.