Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно получить график функции $y = kf(x)$, где $k \neq 0$, используя график функции $y = f(x)$?

Для получения графика функции $y=kf(x)$ из графика функции $y=f(x)$ необходимо выполнить преобразование, которое называется растяжением (сжатием) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика, где $y_0 = f(x_0)$, переходит в точку $(x_0, k \cdot y_0)$. Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на коэффициент $k$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения коэффициента $k$.

В этом случае знак ординаты не меняется, происходит только изменение ее величины. График растягивается или сжимается вдоль оси Oy, при этом точки, лежащие на оси абсцисс (где $f(x)=0$), остаются на месте.

• Если $k > 1$, то происходит растяжение графика от оси Ox в $k$ раз. Все ординаты точек графика увеличиваются по модулю в $k$ раз, и точки "удаляются" от оси абсцисс.
• Если $0 < k < 1$, то происходит сжатие графика к оси Ox в $1/k$ раз. Все ординаты точек графика уменьшаются по модулю в $k$ раз, и точки "приближаются" к оси абсцисс.
• Если $k = 1$, то график функции не изменяется, так как $y = 1 \cdot f(x) = f(x)$.

В этом случае преобразование можно рассматривать как комбинацию двух действий: растяжения/сжатия и симметричного отражения. Пусть $k = -m$, где $m = |k| > 0$. Тогда функция принимает вид $y = -m \cdot f(x)$. Преобразование можно выполнить в два шага:

1. Сначала выполнить растяжение (если $m>1$) или сжатие (если $0<m<1$) графика $y=f(x)$ вдоль оси Oy с коэффициентом $m = |k|$. Получится график функции $y = |k|f(x)$.
2. Затем выполнить симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси Ox).

Иначе говоря, каждая точка $(x, y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x, ky)$. Так как $k$ отрицательно, знак ординаты меняется на противоположный, а ее абсолютное значение умножается на $|k|$.

• Если $k < -1$, то происходит растяжение графика от оси Ox в $|k|$ раз с последующим отражением относительно оси Ox.
• Если $-1 < k < 0$, то происходит сжатие графика к оси Ox в $1/|k|$ раз с последующим отражением относительно оси Ox.
• Если $k = -1$, то происходит только симметричное отражение графика относительно оси Ox. График функции $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси абсцисс.

Ответ: График функции $y = kf(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем преобразования ординат всех его точек. Абсцисса каждой точки остается прежней, а ордината умножается на коэффициент $k$.Если $k > 0$, происходит вертикальное растяжение графика от оси Ox (при $k > 1$) или сжатие к оси Ox (при $0 < k < 1$).Если $k < 0$, происходит такое же растяжение или сжатие с коэффициентом $|k|$, но с дополнительным симметричным отражением графика относительно оси Ox.

2. Какая фигура является графиком функции $y = ax^2$, где $a \ne 0$?

2. Функция, заданная уравнением $y = ax^2$ при условии, что $a \ne 0$, относится к классу квадратичных функций. Графиком любой квадратичной функции является кривая, которая носит название парабола.

Ключевые характеристики параболы $y = ax^2$:

• Вершина. Вершина этой параболы всегда находится в начале координат, то есть в точке с координатами $(0, 0)$. Это легко проверить, подставив $x=0$ в уравнение: $y = a \cdot 0^2 = 0$.
• Симметрия. Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $y$). Это значит, что если точка $(x_0, y_0)$ лежит на параболе, то и точка $(-x_0, y_0)$ также лежит на ней. Уравнение оси симметрии: $x = 0$.
• Направление ветвей. Направление, в котором "открывается" парабола, определяется знаком коэффициента $a$:
  • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
  • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Влияние коэффициента $a$. Абсолютное значение коэффициента $a$ влияет на "крутизну" или "ширину" параболы. Чем больше $|a|$, тем "уже" становится парабола (сильнее прижимается к оси $y$). Чем меньше $|a|$, тем она "шире".

Условие $a \ne 0$ является принципиально важным. Если бы коэффициент $a$ был равен нулю, уравнение превратилось бы в $y = 0 \cdot x^2$, то есть $y = 0$. Графиком функции $y=0$ является прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс (осью $x$), а это уже не парабола.

Ответ: парабола.

3. Какая точка является вершиной параболы $y = ax^2$?

Вершина параболы — это точка, в которой находится её минимум или максимум. Чтобы определить координаты вершины для параболы, заданной уравнением $y = ax^2$, можно воспользоваться стандартной формой записи уравнения параболы с вершиной в произвольной точке: $y = a(x-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это и есть координаты вершины.

Преобразуем данное уравнение $y = ax^2$ к этому стандартному виду. Отсутствие слагаемых, содержащих $x$ в первой степени, и свободного члена означает, что смещения параболы по осям координат нет. Уравнение можно записать так:
$y = a(x-0)^2 + 0$

Сравнивая полученное уравнение $y = a(x-0)^2 + 0$ со стандартной формой $y = a(x-h)^2 + k$, мы можем легко определить значения $h$ и $k$:
$h = 0$
$k = 0$

Таким образом, вершина параболы $y = ax^2$ находится в точке с координатами $(0, 0)$, то есть в начале координат.
Ответ: Вершиной параболы $y = ax^2$ является точка $(0, 0)$.

4. Как направлены ветви параболы $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

Направление ветвей параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2$, определяется знаком старшего коэффициента $a$. Вершина такой параболы всегда находится в начале координат, в точке (0, 0).

Если коэффициент $a$ положителен ($a > 0$), то значение функции $y$ будет всегда неотрицательным, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Минимальное значение функции $y=0$ достигается при $x=0$. При увеличении $|x|$ (то есть при удалении от нуля в любую сторону), значение $x^2$ растет, а значит, и значение $y=ax^2$ тоже растет. Это означает, что график функции уходит в бесконечность в верхней полуплоскости. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Ответ: ветви параболы направлены вверх.

Если коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$), то значение функции $y$ будет всегда неположительным, поскольку положительное значение $x^2$ умножается на отрицательное число $a$. Максимальное значение функции $y=0$ достигается при $x=0$. При увеличении $|x|$, значение $x^2$ растет, а значение $y=ax^2$ становится все более отрицательным (уменьшается). Это означает, что график функции уходит в бесконечность в нижней полуплоскости. Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: ветви параболы направлены вниз.

5. Какова область определения функции $y = ax^2$, где $a \neq 0$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае переменной $x$), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл и может быть вычислено.

Рассмотрим заданную функцию $y = ax^2$, где $a$ — это постоянный коэффициент, не равный нулю ($a \ne 0$). Эта функция является квадратичной функцией, которая относится к классу полиномиальных функций.

Чтобы найти область определения, нужно проанализировать выражение $ax^2$ на наличие математических операций, которые могут быть невыполнимы для некоторых значений $x$. К таким операциям относятся, например:

• деление на ноль;
• извлечение корня четной степени из отрицательного числа;
• вычисление логарифма от отрицательного числа или нуля.

В выражении $ax^2$ выполняются только две операции: возведение переменной $x$ в квадрат и умножение полученного результата на константу $a$. Обе эти операции определены для любого действительного числа $x$. В выражении нет деления на переменную, нет корней или логарифмов.

Таким образом, не существует никаких ограничений на значения, которые может принимать переменная $x$.

Ответ: Областью определения функции $y = ax^2$ является множество всех действительных чисел. В виде интервала это записывается как $(-\infty; +\infty)$, или с использованием символа множества действительных чисел: $x \in \mathbb{R}$.

6. Какова область значений функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

при a > 0:

Рассмотрим функцию $y = ax^2$, где $a$ — положительный коэффициент ($a > 0$).

Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

При умножении этого неотрицательного значения $x^2$ на положительное число $a$, результат также будет неотрицательным. Таким образом, $y = ax^2 \ge 0$.

Минимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $y = a \cdot 0^2 = 0$.

Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, $x^2$ может быть сколь угодно большим. Соответственно, произведение $ax^2$ также может быть сколь угодно большим.

Следовательно, область значений функции — это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности. Графически это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Ответ: $[0; +\infty)$.

при a < 0:

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Значение $x^2$ по-прежнему неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Однако при умножении неотрицательного значения $x^2$ на отрицательное число $a$, результат будет неположительным (то есть меньше или равен нулю). Таким образом, $y = ax^2 \le 0$.

Максимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $y = a \cdot 0^2 = 0$.

При увеличении абсолютного значения $x$, значение $x^2$ растет, а произведение $ax^2$ (с отрицательным $a$) будет уменьшаться, стремясь к минус бесконечности.

Следовательно, область значений функции — это все числа от минус бесконечности до 0, включая 0. Графически это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.

Ответ: $(-\infty; 0]$.

7. На каком промежутке возрастает и на каком промежутке убывает функция $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

Для того чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = ax^2$, мы можем проанализировать ее график или использовать производную. Метод с использованием производной является универсальным.

1. Находим производную функции.

Функция $y(x) = ax^2$. Ее производная по $x$ равна:

$y'(x) = (ax^2)' = 2ax$

2. Определяем условия возрастания и убывания.

• Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, то есть $y'(x) > 0$.
• Функция убывает на тех промежутках, где ее производная отрицательна, то есть $y'(x) < 0$.

Точка, в которой производная равна нулю ($y'(x) = 0$), является критической точкой. В нашем случае $2ax = 0$ при $x=0$. Эта точка разделяет ось $x$ на два промежутка: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Рассмотрим поведение функции в зависимости от знака коэффициента $a$.

при $a > 0$:

В этом случае график функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Проанализируем знак производной $y'(x) = 2ax$:

• Убывание: $y'(x) < 0 \implies 2ax < 0$. Так как $a > 0$, то $2a$ — положительное число. При делении неравенства на $2a$ знак не меняется: $x < 0$. Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Возрастание: $y'(x) > 0 \implies 2ax > 0$. Так как $a > 0$, делим на $2a$ без изменения знака: $x > 0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: при $a > 0$ функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

при $a < 0$:

В этом случае график функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы также находится в точке $(0, 0)$.

Проанализируем знак производной $y'(x) = 2ax$:

• Возрастание: $y'(x) > 0 \implies 2ax > 0$. Так как $a < 0$, то $2a$ — отрицательное число. При делении неравенства на $2a$ знак меняется на противоположный: $x < 0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Убывание: $y'(x) < 0 \implies 2ax < 0$. Так как $a < 0$, делим на $2a$ и меняем знак неравенства: $x > 0$. Таким образом, функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: при $a < 0$ функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

8. В каких координатных четвертях находится график функции $y = ax^2$ при $a > 0$; при $a < 0$?

Функция $y = ax^2$ задает параболу, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. В зависимости от знака коэффициента $a$, ветви этой параболы будут направлены либо вверх, либо вниз, что и определяет их расположение в координатных четвертях.

Напомним, что I четверть соответствует условиям $x > 0, y > 0$; II четверть — $x < 0, y > 0$; III четверть — $x < 0, y < 0$; IV четверть — $x > 0, y < 0$.

при a > 0

Проанализируем знаки переменных в уравнении $y = ax^2$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. По условию, коэффициент $a$ — положительное число ($a > 0$). Произведение положительного числа $a$ на неотрицательное число $x^2$ всегда будет неотрицательным. Таким образом, получаем, что $y \ge 0$. Это означает, что все точки графика, за исключением вершины $(0, 0)$, будут иметь положительную ординату ($y > 0$). Точки с положительной ординатой находятся в I и II координатных четвертях. Если $x > 0$, то точка $(x, y)$ лежит в I четверти. Если $x < 0$, то точка $(x, y)$ лежит во II четверти. Следовательно, ветви параболы направлены вверх и расположены в первой и второй четвертях.
Ответ: при $a > 0$ график функции находится в I и II координатных четвертях.

при a < 0

В этом случае, как и в предыдущем, $x^2 \ge 0$. Однако коэффициент $a$ является отрицательным числом ($a < 0$). При умножении неотрицательного числа $x^2$ на отрицательное число $a$, результат будет неположительным. Таким образом, получаем, что $y \le 0$. Это означает, что все точки графика, за исключением вершины $(0, 0)$, будут иметь отрицательную ординату ($y < 0$). Точки с отрицательной ординатой находятся в III и IV координатных четвертях. Если $x < 0$, то точка $(x, y)$ лежит в III четверти. Если $x > 0$, то точка $(x, y)$ лежит в IV четверти. Следовательно, ветви параболы направлены вниз и расположены в третьей и четвертой четвертях.
Ответ: при $a < 0$ график функции находится в III и IV координатных четвертях.

285. Принадлежит ли графику функции $y = -25x^2$ точка:

1) A(2; -100);

2) B(-2; 100);

3) C($-\frac{1}{5}$; -1);

4) D(-1; 25)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = -25x^2$, необходимо подставить эти координаты в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A(2; -100);

Подставим в уравнение функции $y = -25x^2$ координаты точки A: $x = 2$ и $y = -100$.
Получаем: $-100 = -25 \cdot (2)^2$.
Вычисляем правую часть: $-25 \cdot 4 = -100$.
В итоге имеем верное равенство: $-100 = -100$.
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

2) B(-2; 100);

Подставим в уравнение функции $y = -25x^2$ координаты точки B: $x = -2$ и $y = 100$.
Получаем: $100 = -25 \cdot (-2)^2$.
Вычисляем правую часть: $-25 \cdot 4 = -100$.
В итоге имеем неверное равенство: $100 = -100$.
Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

3) C($-\frac{1}{5}$; -1);

Подставим в уравнение функции $y = -25x^2$ координаты точки C: $x = -\frac{1}{5}$ и $y = -1$.
Получаем: $-1 = -25 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^2$.
Вычисляем правую часть: $-25 \cdot \left(\frac{1}{25}\right) = -1$.
В итоге имеем верное равенство: $-1 = -1$.
Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

4) D(-1; 25)?

Подставим в уравнение функции $y = -25x^2$ координаты точки D: $x = -1$ и $y = 25$.
Получаем: $25 = -25 \cdot (-1)^2$.
Вычисляем правую часть: $-25 \cdot 1 = -25$.
В итоге имеем неверное равенство: $25 = -25$.
Следовательно, точка D не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

286. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y = 3x^2$ и прямой:

1) $y = 300;$

2) $y = 42x;$

3) $y = -150x;$

4) $y = 6 - 3x.$

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $y = 3x^2$ и заданной прямой, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций. В точках пересечения их координаты $x$ и $y$ совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения. Затем, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем ординаты ($y$) этих точек.

1) $y = 3x^2$ и $y = 300$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 300$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = 100$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.
Координата $y$ для обеих точек задана уравнением прямой и равна 300. Таким образом, мы имеем две точки пересечения.
Первая точка: $(10, 300)$.
Вторая точка: $(-10, 300)$.
Ответ: $(10, 300)$, $(-10, 300)$.

2) $y = 3x^2$ и $y = 42x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 42x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$3x^2 - 42x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 14) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
или
$x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 42x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = 42 \cdot 0 = 0$. Первая точка: $(0, 0)$.
При $x_2 = 14$, $y_2 = 42 \cdot 14 = 588$. Вторая точка: $(14, 588)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(14, 588)$.

3) $y = 3x^2$ и $y = -150x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = -150x$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 150x = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x + 50) = 0$
Отсюда находим два корня:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
или
$x + 50 = 0 \implies x_2 = -50$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = -150x$.
При $x_1 = 0$, $y_1 = -150 \cdot 0 = 0$. Первая точка: $(0, 0)$.
При $x_2 = -50$, $y_2 = -150 \cdot (-50) = 7500$. Вторая точка: $(-50, 7500)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(-50, 7500)$.

4) $y = 3x^2$ и $y = 6 - 3x$
Приравниваем правые части уравнений:
$3x^2 = 6 - 3x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$3x^2 + 3x - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:
$x^2 + x - 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
$x_1 = 1$, $x_2 = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = 6 - 3x$.
При $x_1 = 1$, $y_1 = 6 - 3 \cdot 1 = 3$. Первая точка: $(1, 3)$.
При $x_2 = -2$, $y_2 = 6 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12$. Вторая точка: $(-2, 12)$.
Ответ: $(1, 3)$, $(-2, 12)$.

287. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3;$

2) $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = x + 4.$

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, не выполняя построения, нужно приравнять их правые части. Координаты $(x; y)$ точек пересечения являются решениями системы уравнений, задающих эти функции.

Даны функции $y = \frac{1}{3}x^2$ и $y = 3$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$\frac{1}{3}x^2 = 3$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Из второго уравнения $y = 3$ следует, что ордината для обеих точек пересечения равна 3.

Таким образом, получаем две точки пересечения:

Первая точка: $(3; 3)$.

Вторая точка: $(-3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$, $(-3; 3)$.

Даны функции $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = x + 4$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{2}x^2 = x + 4$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 = 2(x + 4)$

$x^2 = 2x + 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = x + 4$.

При $x_1 = 4$:

$y_1 = 4 + 4 = 8$

Координаты первой точки пересечения: $(4; 8)$.

При $x_2 = -2$:

$y_2 = -2 + 4 = 2$

Координаты второй точки пересечения: $(-2; 2)$.

Ответ: $(4; 8)$, $(-2; 2)$.

288. При каких значениях $a$ точка $A(a; 16)$ принадлежит графику функции $y = 4x^2$?

Чтобы точка $A(a; 16)$ принадлежала графику функции $y = 4x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это значит, что если мы подставим координаты точки $A$ (где $x = a$ и $y = 16$) в уравнение функции, мы получим верное равенство.

Подставим значения $x=a$ и $y=16$ в уравнение $y = 4x^2$:

$16 = 4a^2$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно $a$. Для этого разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{16}{4} = \frac{4a^2}{4}$

$4 = a^2$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у числа 4 есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$a = \sqrt{4}$ или $a = -\sqrt{4}$

$a_1 = 2$

$a_2 = -2$

Следовательно, существуют два значения $a$, при которых точка $A(a; 16)$ принадлежит графику функции $y = 4x^2$.

Ответ: $a = -2$ или $a = 2$.

289. При каких значениях $b$ точка $B(-2; b)$ принадлежит графику функции $y = -0.2x^2$?

Для того чтобы точка $B(-2; b)$ принадлежала графику функции $y = -0,2x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению данной функции. Это означает, что при подстановке абсциссы точки $x = -2$ в уравнение, значение функции $y$ должно быть равно ординате точки, то есть $b$.

Подставим значение $x = -2$ в уравнение функции:

$y = -0,2 \cdot (-2)^2$

Теперь выполним вычисления:

1. Возведем в квадрат: $(-2)^2 = 4$.

2. Умножим на коэффициент: $y = -0,2 \cdot 4$.

3. Получим результат: $y = -0,8$.

Так как ордината точки $B$ равна $b$, а вычисленное значение $y$ равно $-0,8$, то для того, чтобы точка принадлежала графику, должно выполняться равенство $b = y$.

Следовательно, $b = -0,8$.

Ответ: $b = -0,8$.

290. Известно, что точка $M(3; -6)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$.

Найдите значение $a$.

Поскольку точка $M(3; -6)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$, ее координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Это означает, что если мы подставим $x = 3$ и $y = -6$ в уравнение, то получим верное равенство.

Подставим значения координат точки $M$ в уравнение функции:
$-6 = a \cdot (3)^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $a$. Сначала возведем 3 в квадрат:
$3^2 = 9$

Получаем уравнение:
$-6 = a \cdot 9$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 9:
$a = \frac{-6}{9}$

Сократим полученную дробь на 3:
$a = -\frac{2}{3}$

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$

291. Известно, что точка $K(-5; 10)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$.

Найдите значение $a$.

Поскольку точка $K(-5; 10)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это значит, что если мы подставим значение абсциссы $x = -5$ и ординаты $y = 10$ в формулу функции, то получим верное равенство.

Подставим значения $x = -5$ и $y = 10$ в уравнение $y = ax^2$:

$10 = a \cdot (-5)^2$

Выполним вычисление:

$10 = a \cdot 25$

Теперь, чтобы найти неизвестный коэффициент $a$, разделим обе части уравнения на 25:

$a = \frac{10}{25}$

Сократим полученную дробь на 5:

$a = \frac{2}{5}$

Также можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$a = 0.4$

Ответ: $a = 0.4$.