Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

266. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке \$[-4; 3]\$, такой, что:

1) функция возрастает на промежутке \$[-4; -1]\$ и убывает на промежутке \$[-1; 3]\$;

2) функция убывает на промежутках \$[-4; -2]\$ и \$[0; 3]\$ и возрастает на промежутке \$[-2; 0]\$.

1)

Согласно условию, требуется начертить график функции, определённой на отрезке $[-4; 3]$, которая возрастает на промежутке $[-4; -1]$ и убывает на промежутке $[-1; 3]$.

Возрастание функции на промежутке $[-4; -1]$ означает, что при увеличении $x$ от $-4$ до $-1$ значение $y$ также увеличивается (график идёт вверх). Убывание на промежутке $[-1; 3]$ означает, что при увеличении $x$ от $-1$ до $3$ значение $y$ уменьшается (график идёт вниз). Таким образом, в точке $x = -1$ функция достигает своего локального максимума.

Для построения графика можно выбрать несколько ключевых точек и соединить их, например, отрезками прямых. Пусть начальная точка графика при $x=-4$ будет $(-4, 1)$. Поскольку функция возрастает до $x=-1$, значение в этой точке должно быть больше, выберем точку максимума $(-1, 4)$. Соединим точки $(-4, 1)$ и $(-1, 4)$ отрезком. Далее функция убывает до $x=3$. Значение в этой точке должно быть меньше, чем в точке максимума. Выберем, например, точку $(3, 0)$. Соединим точки $(-1, 4)$ и $(3, 0)$ вторым отрезком. Полученная ломаная линия с вершиной в точке $(-1, 4)$ полностью удовлетворяет заданным условиям.

В качестве примера гладкой функции можно рассмотреть параболу с ветвями вниз и вершиной в точке $x=-1$, например, $f(x) = -(x+1)^2 + 4$.

Ответ: График представляет собой кривую или ломаную линию, которая поднимается на промежутке $[-4; -1]$ (например, от точки $(-4,1)$ до $(-1,4)$) и опускается на промежутке $[-1; 3]$ (например, от точки $(-1,4)$ до $(3,0)$). Точка с абсциссой $x=-1$ является точкой максимума.

2)

Согласно условию, требуется начертить график функции, определённой на отрезке $[-4; 3]$, которая убывает на промежутках $[-4; -2]$ и $[0; 3]$ и возрастает на промежутке $[-2; 0]$.

Это означает, что график функции имеет следующий вид:
- На промежутке $[-4; -2]$ он идёт вниз.
- В точке $x=-2$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
- На промежутке $[-2; 0]$ график идёт вверх.
- В точке $x=0$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
- На промежутке $[0; 3]$ график снова идёт вниз.

Построим пример такого графика, соединив ключевые точки отрезками. Выберем начальное значение в точке $x=-4$, например, $(-4, 3)$. Так как функция убывает, в точке $x=-2$ значение должно быть меньше, например, $(-2, 0)$. Это будет точка локального минимума. Затем функция возрастает до $x=0$, где будет локальный максимум, например, в точке $(0, 2)$. Наконец, на последнем участке функция снова убывает, и в точке $x=3$ значение будет меньше, чем в максимуме, например, $(3, -1)$. Соединив последовательно точки $(-4, 3)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(3, -1)$ отрезками, мы получим ломаную линию, удовлетворяющую всем условиям.

Примером гладкой функции с такими свойствами может служить кубическая функция, например, $f(x) = -x^3/3 - x^2 + 2$.

Ответ: График представляет собой кривую или ломаную линию, которая опускается на промежутке $[-4; -2]$ (например, от $(-4,3)$ до $(-2,0)$), затем поднимается на промежутке $[-2; 0]$ (например, до $(0,2)$), и снова опускается на промежутке $[0; 3]$ (например, до $(3,-1)$). Таким образом, в точке $x=-2$ находится локальный минимум, а в точке $x=0$ — локальный максимум.

267. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, которая возрастает на промежутках $ (-\infty; 1] $ и $ [4; +\infty) $ и убывает на промежутке $ [1; 4] $.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать её свойства, вытекающие из условия задачи.

Анализ свойств функции

• Область определения: Функция определена на множестве действительных чисел, что означает её область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. График такой функции представляет собой непрерывную кривую, которая простирается на всю числовую ось X.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[4; +\infty)$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этих промежутков, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. График на этих участках "идёт вверх" при движении слева направо.
  • Функция убывает на промежутке $[1; 4]$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. График на этом участке "идёт вниз".
• Точки экстремума: Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), являются точками экстремума.
  • В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
  • В точке $x=4$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.

Построение графика

Основываясь на анализе, мы можем начертить эскиз графика. Это будет гладкая кривая, которая:

1. Поднимается из $-\infty$ до точки локального максимума с абсциссой $x=1$.
2. Опускается от точки максимума до точки локального минимума с абсциссой $x=4$.
3. Снова поднимается от точки минимума в $+\infty$.

Значения функции в точках экстремума (то есть ординаты этих точек) могут быть выбраны произвольно, но с учётом того, что значение в точке максимума должно быть больше значения в точке минимума. Например, можно взять точку максимума $(1, 2)$ и точку минимума $(4, -1)$.

Ответ:

Ниже представлен эскиз графика функции, удовлетворяющей всем перечисленным условиям. Красными точками отмечены локальный максимум и локальный минимум.

268. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 2x + 8, & \text{если } x \le -2, \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 2, \\ -2x + 8, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо построить график каждой из трёх функций на соответствующем промежутке.

1. Построение графика функции $y = 2x + 8$ на промежутке $x \le -2$.

Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• При $x = -2$, $y = 2(-2) + 8 = 4$. Получаем точку $(-2, 4)$.
• При $x = -4$, $y = 2(-4) + 8 = 0$. Получаем точку $(-4, 0)$.

Проводим луч через точку $(-4, 0)$ до точки $(-2, 4)$, включая эту точку.

2. Построение графика функции $y = x^2$ на промежутке $-2 < x < 2$.

Графиком является часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Найдем значения на границах интервала (эти точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое):

• При $x \to -2$, $y \to (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x \to 2$, $y \to (2)^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Строим участок параболы, проходящий через $(0,0)$, между точками $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

3. Построение графика функции $y = -2x + 8$ на промежутке $x \ge 2$.

Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• При $x = 2$, $y = -2(2) + 8 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
• При $x = 4$, $y = -2(4) + 8 = 0$. Получаем точку $(4, 0)$.

Проводим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и проходящий через точку $(4, 0)$.

Так как в точках "стыковки" $x=-2$ и $x=2$ значения всех частей функции совпадают и равны 4, график является непрерывной линией. Он состоит из луча, возрастающего до точки $(-2, 4)$, затем участка параболы, убывающего до $(0, 0)$ и возрастающего до $(2, 4)$, и, наконец, луча, убывающего от точки $(2, 4)$.

Используя построенный график, проанализируем свойства функции.

Нули функции

Нули функции – это точки, в которых график пересекает ось абсцисс, то есть где $f(x)=0$. Найдем их для каждой части функции:

• $2x + 8 = 0 \implies x = -4$. Это значение входит в промежуток $x \le -2$.
• $x^2 = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в промежуток $-2 < x < 2$.
• $-2x + 8 = 0 \implies x = 4$. Это значение входит в промежуток $x \ge 2$.

Ответ: нули функции: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах от -4 до 0 и от 0 до 4.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее -4 и правее 4.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-4, 0) \cup (0, 4)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и промежутки убывания

Определяем по графику, где функция возрастает (график идёт вверх) и где убывает (график идёт вниз).

• Промежутки возрастания:
  1. На промежутке $(-\infty, -2]$ график $y=2x+8$ возрастает.
  2. На промежутке $[0, 2)$ график $y=x^2$ возрастает.
• Промежутки убывания:
  1. На промежутке $(-2, 0]$ график $y=x^2$ убывает.
  2. На промежутке $[2, +\infty)$ график $y=-2x+8$ убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$; функция убывает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

269. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x < -1, \\ \frac{x}{4}, \text{ если } -1 \leq x \leq 1, \\ \frac{4}{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Постройте график функции

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения графика рассмотрим каждый из трех участков отдельно.

1. На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $f(x) = \frac{4}{x}$. Это часть графика обратной пропорциональности (гиперболы), ветвь которой расположена в третьей координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой ветви при $x \to -\infty$. Найдем значение на границе промежутка: при $x=-1$, $y = \frac{4}{-1} = -4$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; -4)$ на графике будет выколотой (пустой кружок).

2. На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $f(x) = \frac{x}{4}$. Это часть графика прямой пропорциональности, проходящая через начало координат. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки, соответствующие концам отрезка.
При $x = -1$, $f(-1) = \frac{-1}{4} = -0.25$. Точка $(-1; -0.25)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
При $x = 1$, $f(1) = \frac{1}{4} = 0.25$. Точка $(1; 0.25)$ также принадлежит графику (закрашенный кружок).

3. На промежутке $x > 1$ функция вновь задана формулой $f(x) = \frac{4}{x}$. Это другая ветвь той же гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. На границе промежутка, при $x=1$, получаем $y = \frac{4}{1} = 4$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1; 4)$ на графике будет выколотой.

Совместим все три части на одной координатной плоскости, чтобы получить итоговый график функции.

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Нули функции:
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x)=0$). На графике это точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$).
- На промежутках $x < -1$ и $x > 1$ функция $f(x) = \frac{4}{x}$ не равна нулю.
- На отрезке $-1 \le x \le 1$ функция $f(x) = \frac{x}{4}$ равна нулю при $\frac{x}{4} = 0$, то есть при $x=0$.
Таким образом, функция имеет единственный нуль.
Ответ: $x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).
- Функция положительна ($f(x) > 0$), где ее график лежит выше оси $Ox$. Из графика видно, что это происходит на промежутке $(0; 1]$ и на промежутке $(1; +\infty)$. Объединяя эти промежутки, получаем $(0; +\infty)$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), где ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $(-\infty; -1)$ и на промежутке $[-1; 0)$. Объединяя эти промежутки, получаем $(-\infty; 0)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$; функция отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

Промежутки возрастания:
Функция возрастает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значения $f(x)$ также увеличиваются (график идет "вверх").
На отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x) = \frac{x}{4}$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k = 1/4$, поэтому она возрастает на всем этом отрезке.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$.

Промежутки убывания:
Функция убывает на тех промежутках, где при увеличении $x$ значения $f(x)$ уменьшаются (график идет "вниз").
- На промежутке $(-\infty; -1)$ график функции $f(x) = \frac{4}{x}$ убывает.
- На промежутке $(1; +\infty)$ график функции $f(x) = \frac{4}{x}$ также убывает.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

270. При каких значениях $a$ функция $y = x^2 + (2a - 1)x + a^2 + a$ имеет два нуля?

Нули функции – это значения аргумента x, при которых значение функции y равно нулю. Следовательно, нам необходимо найти, при каких значениях параметра a квадратное уравнение $x^2 + (2a - 1)x + a^2 + a = 0$ имеет два различных действительных корня.

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Для нашего уравнения коэффициенты равны:
$A = 1$
$B = 2a - 1$
$C = a^2 + a$

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (2a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a)$

Упростим полученное выражение:
$D = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 + 4a)$
$D = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 4a$
$D = (4a^2 - 4a^2) + (-4a - 4a) + 1$
$D = -8a + 1$

Теперь решим неравенство $D > 0$:
$-8a + 1 > 0$
$-8a > -1$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-8) знак неравенства меняется на противоположный:
$a < \frac{-1}{-8}$
$a < \frac{1}{8}$

Таким образом, функция имеет два нуля при всех значениях a, которые меньше $\frac{1}{8}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{8})$.

271. При каких значениях $a$ функция $y = x^2 + 6x + a$ не имеет нулей?

Нули функции — это значения аргумента x, при которых значение функции y равно нулю. Следовательно, чтобы найти, при каких значениях параметра a функция $y = x^2 + 6x + a$ не имеет нулей, нам необходимо определить, при каких a уравнение $x^2 + 6x + a = 0$ не имеет действительных корней.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (что больше нуля). Парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс (то есть функция не имеет нулей), если соответствующее квадратное уравнение не имеет корней.

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант D отрицателен ($D < 0$).

Для уравнения $x^2 + 6x + a = 0$ коэффициенты равны: $A=1$, $B=6$, $C=a$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 36 - 4a$

Теперь решим неравенство $D < 0$:
$36 - 4a < 0$

Перенесем $4a$ в правую часть неравенства, изменив знак:
$36 < 4a$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{36}{4} < a$
$9 < a$

Таким образом, функция не имеет нулей при всех значениях a, которые строго больше 9.

Ответ: $a > 9$, что соответствует интервалу $(9; +\infty)$.

272. При каком наибольшем целом значении $n$ функция $y = (8 - 3n)x - 7$ является возрастающей?

Заданная функция $y = (8 - 3n)x - 7$ является линейной. Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Линейная функция является возрастающей тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент $k$ положителен, то есть $k > 0$.

В нашем случае угловой коэффициент равен выражению, стоящему перед $x$: $k = 8 - 3n$.

Чтобы функция была возрастающей, должно выполняться неравенство:
$8 - 3n > 0$

Решим это неравенство относительно $n$:
$8 > 3n$
Разделим обе части на 3:
$\frac{8}{3} > n$
Это то же самое, что и $n < \frac{8}{3}$.

Представим дробь $\frac{8}{3}$ в виде смешанного числа:
$\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Таким образом, мы имеем неравенство $n < 2\frac{2}{3}$.

По условию задачи, необходимо найти наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Целые числа, которые меньше $2\frac{2}{3}$, — это $2, 1, 0, -1$ и так далее. Самым большим из них является 2.

Ответ: 2

273. При каких значениях $m$ функция $y = mx - m - 3 + 2x$ является убывающей?

Для того чтобы определить, при каких значениях $m$ функция является убывающей, необходимо привести ее к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Исходное уравнение функции:

$y = mx - m - 3 + 2x$

Сгруппируем члены с переменной $x$ и свободные члены:

$y = (mx + 2x) + (-m - 3)$

Вынесем $x$ за скобки, чтобы определить угловой коэффициент:

$y = (m + 2)x - (m + 3)$

В полученном уравнении угловой коэффициент $k$ равен выражению $(m + 2)$.

Линейная функция является убывающей тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент отрицателен, то есть $k < 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство для $m$:

$m + 2 < 0$

Перенесем 2 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$m < -2$

Следовательно, функция будет убывающей при всех значениях $m$, строго меньших -2.

Ответ: $m \in (-\infty; -2)$.

274. Функция $y = f(x)$ является убывающей. Возрастающей или убывающей является функция (ответ обоснуйте):

1) $y = 3f(x)$;
2) $y = \frac{1}{3}f(x)$;
3) $y = -f(x)?$

Поскольку функция $y = f(x)$ является убывающей, то по определению для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $y=3f(x)$;
Рассмотрим новую функцию $g(x) = 3f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Так как $f(x)$ — убывающая, то $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не изменится:$3f(x_1) > 3f(x_2)$.Это означает, что $g(x_1) > g(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) > g(x_2)$, функция $y=3f(x)$ также является убывающей.
Ответ: убывающей.

2) $y=\frac{1}{3}f(x)$;
Рассмотрим новую функцию $h(x) = \frac{1}{3}f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Известно, что $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{3}$. Знак неравенства сохранится:$\frac{1}{3}f(x_1) > \frac{1}{3}f(x_2)$.Это означает, что $h(x_1) > h(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, функция $y=\frac{1}{3}f(x)$ также является убывающей.
Ответ: убывающей.

3) $y=-f(x)$?
Рассмотрим новую функцию $k(x) = -f(x)$. Возьмем произвольные $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$.Так как $f(x)$ — убывающая, то $f(x_1) > f(x_2)$.Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:$-f(x_1) < -f(x_2)$.Это означает, что $k(x_1) < k(x_2)$.Поскольку для любых $x_1 < x_2$ выполняется $k(x_1) < k(x_2)$, функция $y=-f(x)$ является возрастающей.
Ответ: возрастающей.

275. Функция $y = f(x)$ возрастает на некотором промежутке. Возрастает или убывает на этом промежутке функция (ответ обоснуйте):

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -2f(x)$?

По определению, функция $f(x)$ является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Проанализируем каждую из предложенных функций, используя это определение и свойства числовых неравенств.

Пусть новая функция $g(x) = \frac{1}{2}f(x)$. Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из заданного промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$.
Поскольку исходная функция $f(x)$ возрастает, для этих точек справедливо неравенство: $f(x_1) < f(x_2)$.
Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{2}$. Знак неравенства при умножении на положительное число сохраняется:
$\frac{1}{2}f(x_1) < \frac{1}{2}f(x_2)$.
Следовательно, $g(x_1) < g(x_2)$.
Мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $g(x_1) < g(x_2)$, что по определению означает, что функция $y = \frac{1}{2}f(x)$ возрастает на том же промежутке.
Ответ: функция возрастает.

Пусть новая функция $h(x) = -2f(x)$. Снова возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из заданного промежутка, такие что $x_1 < x_2$.
Так как исходная функция $f(x)$ возрастает, для этих точек справедливо неравенство: $f(x_1) < f(x_2)$.
Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-2f(x_1) > -2f(x_2)$.
Следовательно, $h(x_1) > h(x_2)$.
Мы получили, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, что по определению означает, что функция $y = -2f(x)$ убывает на том же промежутке.
Ответ: функция убывает.