Страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 25

3) функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$;

4) $f(x) = 0$ при $x = -5$ и при $x = 1$;

5) функция на области определения принимает наименьшее значение при $x = -2$?

258. На рисунке 25 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) значения $x$, при которых $y < 0$;

3) промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

1) нули функции;
Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$).
Из рисунка видно, что график функции пересекает ось $Ox$ в точках, где $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $-1$; $3$.

2) значения x, при которых $y < 0$;
Значения функции отрицательны ($y < 0$) на тех промежутках, где её график расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).
По графику видно, что это происходит для всех $x$, которые меньше $-1$, и для всех $x$, которые больше $3$.
Запишем это в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

3) промежуток убывания функции;
Функция убывает на том промежутке, где с увеличением аргумента $x$ значения функции $y$ уменьшаются. На графике это соответствует участку, где кривая идет вниз при движении слева направо.
График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума. Координаты вершины $(1; 4)$. До вершины функция возрастает, а после неё — убывает.
Следовательно, функция убывает при $x \ge 1$.
Ответ: $[1; +\infty)$.

4) область значений функции.
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.
Так как парабола имеет ветви, направленные вниз, её значения ограничены сверху. Максимальное значение функция принимает в своей вершине.
Из графика видно, что ордината вершины равна $4$. Это наибольшее значение функции. Все остальные значения функции меньше $4$.
Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $4$ включительно.
Ответ: $(-\infty; 4]$.

259. Возрастающей или убывающей является функция:

1) $y = 9x - 4;$

2) $y = -4x + 10;$

3) $y = 12 - 3x;$

4) $y = -x;$

5) $y = \frac{1}{6}x;$

6) $y = 1 - 0,3x?$

Для определения того, является ли линейная функция $y = kx + b$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать знак ее углового коэффициента $k$.

• Если угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей.
• Если угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей.

1) Дана функция $y = 9x - 4$.
Здесь угловой коэффициент $k = 9$. Поскольку $9 > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) Дана функция $y = -4x + 10$.
Здесь угловой коэффициент $k = -4$. Поскольку $-4 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

3) Дана функция $y = 12 - 3x$.
Перепишем ее в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -3x + 12$. Угловой коэффициент $k = -3$. Поскольку $-3 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

4) Дана функция $y = -x$.
Эту функцию можно записать как $y = -1 \cdot x + 0$. Угловой коэффициент $k = -1$. Поскольку $-1 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

5) Дана функция $y = \frac{1}{6}x$.
Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{6}$. Поскольку $\frac{1}{6} > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

6) Дана функция $y = 1 - 0,3x$.
Перепишем ее в стандартном виде: $y = -0,3x + 1$. Угловой коэффициент $k = -0,3$. Поскольку $-0,3 < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

260. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,2x + 3;$

2) $g(x) = 35 - 2x - x^2;$

3) $\varphi(x) = \sqrt{x + 3};$

4) $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 3};$

5) $f(x) = x^3 - 4x;$

6) $f(x) = x^2 + 1.$

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,2x + 3$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$0,2x + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$0,2x = -3$

Разделим обе части на 0,2:

$x = \frac{-3}{0,2}$

$x = -15$

Ответ: -15.

2) Чтобы найти нули функции $g(x) = 35 - 2x - x^2$, приравняем её к нулю.

$35 - 2x - x^2 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: -7; 5.

3) Найдём нули функции $\phi(x) = \sqrt{x + 3}$. Приравняем функцию к нулю.

$\sqrt{x + 3} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + 3})^2 = 0^2$

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Полученное значение $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

4) Для нахождения нулей функции $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 3}$ необходимо приравнять её к нулю.

$\frac{x^2 - x - 6}{x + 3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x^2 - x - 6 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим условие для знаменателя: $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Оба найденных корня ($3$ и $-2$) не равны $-3$, следовательно, они являются нулями функции.

Ответ: -2; 3.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^3 - 4x$, решим уравнение $f(x)=0$.

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$x(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

Отсюда получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Ответ: -2; 0; 2.

6) Найдём нули функции $f(x) = x^2 + 1$, решив уравнение $f(x)=0$.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел.

Это означает, что у данной функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

261. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$;

2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$;

4) $f(x) = -5$;

5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x + 1}$;

6) $f(x) = x^2 - x$.

Чтобы найти нули функции $f(x)$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{1}{3}x + 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{1}{3}x = -12$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:

$x = -12 \cdot 3$

$x = -36$

Ответ: -36

2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$

Приравняем функцию к нулю, получив квадратное уравнение:

$6x^2 + 5x + 1 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$; $-\frac{1}{3}$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$

Приравняем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 - 4} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$x^2 - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверим, входят ли найденные значения в область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4 \ge 0$. Оба значения удовлетворяют этому условию ($2^2 - 4 = 0$, $(-2)^2 - 4 = 0$).

Ответ: -2; 2

4) $f(x) = -5$

Приравняем функцию к нулю:

$-5 = 0$

Это равенство неверно ни при каких значениях $x$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нулей нет

5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x + 1}$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{3 - 0,2x}{x + 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем систему условий:

$\begin{cases} 3 - 0,2x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$3 = 0,2x$

$x = \frac{3}{0,2} = \frac{30}{2} = 15$

Проверим второе условие для найденного значения $x=15$:

$15 + 1 = 16 \neq 0$

Условие выполняется, значит $x=15$ является нулем функции.

Ответ: 15

6) $f(x) = x^2 - x$

Приравняем функцию к нулю:

$x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Ответ: 0; 1

262. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = 5x - 15;$

2) $y = -7x - 28;$

3) $y = x^2 - 2x + 1;$

4) $y = \frac{9}{3-x}.$

1) Для функции $y = 5x - 15$ сначала найдём её нули, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
$5x - 15 = 0$
$5x = 15$
$x = 3$
Это линейная функция, её график — прямая линия. Нуль функции $x = 3$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов, подставив любое значение из него.
- Для интервала $(-\infty; 3)$ возьмём $x=0$. Получаем $y(0) = 5 \cdot 0 - 15 = -15$. Так как $-15 < 0$, то на всём интервале $y < 0$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$. Получаем $y(4) = 5 \cdot 4 - 15 = 20 - 15 = 5$. Так как $5 > 0$, то на всём интервале $y > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 3)$.

2) Для функции $y = -7x - 28$ найдём её нули.
$-7x - 28 = 0$
$-7x = 28$
$x = -4$
Нуль функции $x = -4$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.
- Для интервала $(-\infty; -4)$ возьмём $x=-5$. Получаем $y(-5) = -7(-5) - 28 = 35 - 28 = 7$. Так как $7 > 0$, то на всём интервале $y > 0$.
- Для интервала $(-4; +\infty)$ возьмём $x=0$. Получаем $y(0) = -7(0) - 28 = -28$. Так как $-28 < 0$, то на всём интервале $y < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -4)$; $y < 0$ при $x \in (-4; +\infty)$.

3) Для функции $y = x^2 - 2x + 1$ заметим, что её правую часть можно свернуть по формуле квадрата разности.
$y = (x - 1)^2$
Найдём нули функции.
$(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно ($y \ge 0$).
- Функция равна нулю только в одной точке: $x=1$.
- Для всех остальных значений $x$ (то есть при $x \neq 1$) значение функции будет строго положительным, так как квадрат любого ненулевого числа положителен.
Таким образом, функция положительна на объединении двух интервалов: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Отрицательных значений функция не принимает.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, не существует.

4) Для функции $y = \frac{9}{3-x}$ сначала найдём её область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$
Область определения: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь найдём нули функции. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 9, что не равно нулю, поэтому у функции нет нулей.
Знак функции может измениться только в точке разрыва $x=3$. Эта точка делит область определения на два интервала: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак функции на каждом интервале. Числитель дроби (9) всегда положителен, поэтому знак всей дроби зависит только от знака знаменателя $(3-x)$.
- Для интервала $(-\infty; 3)$ возьмём $x=0$. Знаменатель $3 - 0 = 3 > 0$. Так как числитель и знаменатель положительны, то $y > 0$.
- Для интервала $(3; +\infty)$ возьмём $x=4$. Знаменатель $3 - 4 = -1 < 0$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то $y < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y < 0$ при $x \in (3; +\infty)$.

263. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = -4x + 8;$

2) $y = -x^2 - 1;$

3) $y = \sqrt{x} + 2.$

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, необходимо определить, на каких интервалах области определения функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$). Для этого мы найдем нули функции (точки, в которых ее график пересекает ось абсцисс) и определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

1) $y = -4x + 8$

Это линейная функция, область определения которой — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-4x + 8 = 0$

$-4x = -8$

$x = \frac{-8}{-4}$

$x = 2$

Нуль функции $x = 2$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции на каждом из них.

• Возьмем точку из промежутка $(-\infty; 2)$, например, $x = 0$. Подставим ее в функцию:

  $y(0) = -4(0) + 8 = 8$.

  Так как $8 > 0$, то на промежутке $(-\infty; 2)$ функция положительна ($y > 0$).

• Возьмем точку из промежутка $(2; +\infty)$, например, $x = 3$. Подставим ее в функцию:

  $y(3) = -4(3) + 8 = -12 + 8 = -4$.

  Так как $-4 < 0$, то на промежутке $(2; +\infty)$ функция отрицательна ($y < 0$).

Ответ: функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty; 2)$; функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (2; +\infty)$.

2) $y = -x^2 - 1$

Это квадратичная функция, область определения которой — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$-x^2 - 1 = 0$

$-x^2 = 1$

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что график функции не пересекает ось $Ox$, и функция сохраняет свой знак на всей области определения.

Чтобы определить этот знак, выберем любое значение $x$, например, $x = 0$:

$y(0) = -(0)^2 - 1 = -1$.

Так как $y(0) < 0$, функция отрицательна при всех значениях $x$.

Ответ: функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-\infty; +\infty)$; промежутков, где функция положительна, нет.

3) $y = \sqrt{x} + 2$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому область определения функции (ОДЗ): $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$\sqrt{x} + 2 = 0$

$\sqrt{x} = -2$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом. Следовательно, у функции нет нулей.

Так как функция непрерывна на своей области определения и не имеет нулей, она сохраняет свой знак на всем промежутке $[0; +\infty)$.

Определим этот знак. По определению, $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат всегда будет положительным:

$\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Таким образом, $y \ge 2$ для всех $x \in [0; +\infty)$, а значит, функция всегда положительна на своей области определения.

Ответ: функция положительна ($y > 0$) при $x \in [0; +\infty)$; промежутков, где функция отрицательна, нет.

264. Начертите график какой-либо функции, определённой на множестве действительных чисел, нулями которой являются числа:

1) -2 и 5;

2) -4, -1, 0 и 4.

1)

Требуется начертить график функции, которая определена на множестве действительных чисел и имеет нули в точках $x = -2$ и $x = 5$. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Oх).

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этому условию. Самый простой способ построить такую функцию — это использовать многочлен, корнями которого являются заданные числа.

Пусть наша функция $y = f(x)$. Если у функции есть нули $x_1$ и $x_2$, то ее можно представить в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — любое ненулевое число.

Возьмем наши нули $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Для простоты выберем коэффициент $a=1$.

Тогда формула функции будет: $y = (x - (-2))(x - 5) = (x + 2)(x - 5)$

Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $y = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$

Это уравнение параболы. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх. График этой функции пересекает ось Ох в точках $(-2, 0)$ и $(5, 0)$.

Для более точного построения графика можно найти вершину параболы. Координата вершины по оси $x$ находится по формуле $x_v = -b / (2a)$. В нашем случае $a=1, b=-3$, поэтому: $x_v = -(-3) / (2 \cdot 1) = 3/2 = 1.5$

Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти координату по оси $y$: $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 10 = 2.25 - 4.5 - 10 = -12.25$

Вершина параболы находится в точке $(1.5, -12.25)$.

Теперь можно начертить график: это парабола, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(5, 0)$, с вершиной в точке $(1.5, -12.25)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: Графиком может служить парабола, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$ и $x = 5$. Примером такой функции является $y = x^2 - 3x - 10$.

2)

В этом случае нулями функции являются числа $-4, -1, 0$ и $4$. Это означает, что график функции должен пересекать ось Ох в точках $x=-4, x=-1, x=0$ и $x=4$.

Аналогично первому пункту, построим многочлен, который имеет эти числа в качестве корней. $y = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$

Подставим наши нули $x_1 = -4, x_2 = -1, x_3 = 0, x_4 = 4$ и выберем $a=1$ для простоты: $y = (x - (-4))(x - (-1))(x - 0)(x - 4)$ $y = (x + 4)(x + 1)x(x - 4)$

Это многочлен четвертой степени. График этой функции будет пересекать ось Ох в четырех заданных точках. Чтобы представить, как выглядит график, можно определить знаки функции на интервалах, образованных нулями: $(-\infty, -4), (-4, -1), (-1, 0), (0, 4), (4, +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $y = 5(5+1)(5+4)(5-4) > 0$. График выше оси Ох.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $y = 1(1+1)(1+4)(1-4) < 0$. График ниже оси Ох.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $y = -0.5(-0.5+1)(-0.5+4)(-0.5-4) > 0$. График выше оси Ох.
• При $-4 < x < -1$ (например, $x=-2$): $y = -2(-2+1)(-2+4)(-2-4) < 0$. График ниже оси Ох.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $y = -5(-5+1)(-5+4)(-5-4) > 0$. График выше оси Ох.

Таким образом, график представляет собой волнистую линию. Он приходит из $+\infty$ слева, пересекает ось в точке $x=-4$, уходит вниз, затем поворачивает вверх и пересекает ось в точке $x=-1$, снова поворачивает вниз, чтобы пересечь ось в точке $x=0$, и, наконец, после еще одного поворота внизу, пересекает ось в точке $x=4$ и уходит в $+\infty$ справа.

Ответ: Графиком может служить кривая, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -4, x = -1, x = 0$ и $x = 4$. Примером такой функции является $y = x(x+1)(x+4)(x-4)$. График имеет W-образную форму с тремя локальными экстремумами между нулями.

265. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-5; 5] $, нулями которой являются числа -3, 0 и 3.

Для решения задачи нужно найти и начертить график любой функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Область определения функции — промежуток $[-5; 5]$.
2. Нулями функции (то есть значениями $x$, при которых $f(x)=0$) являются числа $-3$, $0$ и $3$.

Самый простой способ сконструировать такую функцию — это использовать многочлен. Если у многочлена есть корни $x_1, x_2, x_3$, то его можно записать в виде $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$, где $a$ — любой ненулевой коэффициент.

Выберем наши корни $x_1 = -3$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 3$. Для простоты положим коэффициент $a=1$. Тогда наша функция примет вид:

$y = (x - (-3))(x - 0)(x - 3)$

Упростим это выражение:

$y = (x+3)x(x-3) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x$

Функция $y = x^3 - 9x$ является кубической параболой. Она определена для всех действительных чисел, следовательно, она определена и на заданном промежутке $[-5; 5]$. Её нули — это $x=-3, x=0, x=3$, что соответствует условию задачи.

Для построения графика найдём координаты нескольких ключевых точек в пределах промежутка $[-5; 5]$:

• Точки пересечения с осью абсцисс (нули функции):
  Как мы и задавали, $y=0$ при $x=-3$, $x=0$ и $x=3$. Это точки $(-3, 0)$, $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
• Значения функции на концах промежутка:
  При $x=-5$: $y = (-5)^3 - 9(-5) = -125 + 45 = -80$. Точка $(-5, -80)$.
  При $x=5$: $y = 5^3 - 9(5) = 125 - 45 = 80$. Точка $(5, 80)$.
• Точки локальных экстремумов (вершины):
  Чтобы их найти, вычислим производную функции и приравняем её к нулю.
  $y' = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$
  Найдём, где $y'=0$:
  $3x^2 - 9 = 0 \implies 3x^2 = 9 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$.
  Оба значения входят в наш промежуток $[-5; 5]$.
  Найдём значения $y$ в этих точках:
  При $x = -\sqrt{3}$: $y = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.4$. Точка локального максимума: $(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$.
  При $x = \sqrt{3}$: $y = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \approx -10.4$. Точка локального минимума: $(\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$.

Теперь можно построить эскиз графика, соединив эти точки плавной кривой. График будет симметричен относительно начала координат, так как функция является нечётной.

Ответ:

Примером функции, удовлетворяющей заданным условиям, является $y = x^3 - 9x$ на промежутке $[-5; 5]$. Её график — это кубическая парабола, проходящая через начало координат, пересекающая ось $Ox$ в точках $-3$ и $3$, и ограниченная значениями $x$ от $-5$ до $5$. Ниже представлен график этой функции.