Номер 260, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

260. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,2x + 3;$

2) $g(x) = 35 - 2x - x^2;$

3) $\varphi(x) = \sqrt{x + 3};$

4) $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 3};$

5) $f(x) = x^3 - 4x;$

6) $f(x) = x^2 + 1.$

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,2x + 3$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$0,2x + 3 = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$0,2x = -3$

Разделим обе части на 0,2:

$x = \frac{-3}{0,2}$

$x = -15$

Ответ: -15.

2) Чтобы найти нули функции $g(x) = 35 - 2x - x^2$, приравняем её к нулю.

$35 - 2x - x^2 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: -7; 5.

3) Найдём нули функции $\phi(x) = \sqrt{x + 3}$. Приравняем функцию к нулю.

$\sqrt{x + 3} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x + 3})^2 = 0^2$

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Полученное значение $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

4) Для нахождения нулей функции $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x + 3}$ необходимо приравнять её к нулю.

$\frac{x^2 - x - 6}{x + 3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} x^2 - x - 6 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим условие для знаменателя: $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Оба найденных корня ($3$ и $-2$) не равны $-3$, следовательно, они являются нулями функции.

Ответ: -2; 3.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^3 - 4x$, решим уравнение $f(x)=0$.

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$x(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

Отсюда получаем три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Ответ: -2; 0; 2.

6) Найдём нули функции $f(x) = x^2 + 1$, решив уравнение $f(x)=0$.

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел.

Это означает, что у данной функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.