Номер 256, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

256. На рисунке 23 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-1; 4]$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях $x$ значения функции отрицательные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) наибольшее и наименьшее значения функции.

1) нули функции;

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. На графике это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось $Ox$. Проанализировав график на рисунке 23, мы видим, что он пересекает ось абсцисс в двух точках. Координаты этих точек по оси $x$ равны $-1$ и $2$.

Ответ: нули функции: $x = -1, x = 2$.

2) при каких значениях x значения функции отрицательные;

Значения функции считаются отрицательными ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где ее график лежит ниже оси абсцисс $Ox$. Из графика видно, что это условие выполняется для всех значений $x$, которые находятся между нулями функции $x = -1$ и $x = 2$. В самих точках $x=-1$ и $x=2$ значение функции равно нулю, поэтому концы интервала не включаются.

Ответ: функция отрицательна при $x \in (-1; 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где с увеличением аргумента $x$ увеличивается и значение функции $y$. Графически это соответствует участкам, на которых график "идет вверх" при движении слева направо. Функция убывает, если с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается (график "идет вниз").

Анализируя график на отрезке $[-1; 4]$:

- Функция убывает на отрезке от $x=-1$ до $x=1$. В точке $x=1$ находится локальный минимум.
- Затем функция возрастает на отрезке от $x=1$ до $x=3$. В точке $x=3$ находится локальный максимум.
- После этого функция снова убывает на отрезке от $x=3$ до $x=4$.

Ответ: промежуток возрастания: $[1; 3]$; промежутки убывания: $[-1; 1]$ и $[3; 4]$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[-1; 4]$ — это, соответственно, самая высокая и самая низкая точки на графике в пределах этого отрезка. Чтобы их найти, нужно сравнить значения функции в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов) и на концах заданного отрезка.

Найдем значения функции в этих ключевых точках по графику:

- Значение на левом конце отрезка: $f(-1) = 0$.
- Значение в точке локального минимума: $f(1) = -2$.
- Значение в точке локального максимума: $f(3) = 2$.
- Значение на правом конце отрезка: $f(4) = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -2, 2, 1\}$, мы видим, что самое большое из них — это $2$, а самое маленькое — $-2$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = 2$; наименьшее значение функции $y_{\text{наим}} = -2$.