Номер 6, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Какую функцию называют убывающей?

Функцию $y = f(x)$ называют убывающей на некотором промежутке $X$ (из ее области определения), если для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Геометрический смысл

График убывающей функции, если рассматривать его слева направо (в направлении увеличения $x$), всегда "идет вниз". То есть, двигаясь по графику вправо, мы будем опускаться.

Условие для дифференцируемой функции

Для функции $f(x)$, имеющей производную, существует удобный критерий для определения промежутков убывания. Если на некотором интервале $(a, b)$ производная функции отрицательна, то есть $f'(x) < 0$ для всех $x$ из этого интервала, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Строгое и нестрогое убывание

Приведенное выше определение ($f(x_2) < f(x_1)$) описывает строго убывающую функцию. Существует также понятие нестрого убывающей (или просто убывающей в некоторых разделах математики) функции, для которой при $x_2 > x_1$ выполняется условие $f(x_2) \le f(x_1)$. График такой функции может содержать горизонтальные участки ("плато"). В школьном курсе математики под термином "убывающая функция" почти всегда подразумевается именно "строго убывающая функция".

Примеры

1. Линейная функция. Функция $y = -5x + 3$ является убывающей на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Ее производная $y' = -5$, что всегда меньше нуля.

2. Показательная функция. Функция $y = a^x$ при основании $0 < a < 1$ (например, $y = (0.5)^x$) является убывающей на всей числовой оси.

3. Обратная пропорциональность. Функция $y = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Однако важно понимать, что она не является убывающей на всей своей области определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, так как, например, можно взять $x_1=-1$ и $x_2=1$. Здесь $x_2 > x_1$, но $f(x_2) = 1 > f(x_1) = -1$, что противоречит определению убывающей функции.

Ответ: Убывающей называют такую функцию, у которой большему значению аргумента из заданного промежутка соответствует меньшее значение функции. Математически это записывается так: функция $y=f(x)$ убывает на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.