Страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое значение аргумента называют нулём функции?

1.

Нулём функции называют такое значение аргумента (независимой переменной, обычно обозначаемой как $x$), при котором значение функции (зависимой переменной, $y$ или $f(x)$) равно нулю.

Другими словами, если функция задана формулой $y = f(x)$, то её нуль — это такое число $x_0$ из области определения функции, для которого выполняется равенство $f(x_0) = 0$.

Геометрический смысл: нули функции — это абсциссы (координаты по оси $x$) точек, в которых график функции пересекает ось абсцисс ($Ox$). В этих точках пересечения координата $y$ всегда равна нулю.

Пример:
Найдём нуль для функции $y = 2x - 6$.
Для этого необходимо найти значение $x$, при котором $y$ будет равно $0$. Составляем и решаем уравнение:
$2x - 6 = 0$
Переносим $-6$ в правую часть уравнения, меняя знак на противоположный:
$2x = 6$
Делим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $2$:
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Таким образом, $x = 3$ — это нуль функции $y = 2x - 6$. Графически это означает, что прямая, являющаяся графиком этой функции, пересекает ось $x$ в точке с координатами $(3, 0)$.

Ответ: Нулём функции называется значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

2. Поясните, что называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутком знакопостоянства функции называют такой промежуток из области определения функции, на котором она сохраняет свой знак, то есть принимает значения либо только положительные, либо только отрицательные.

Формально, интервал $I$ является промежутком знакопостоянства для функции $y = f(x)$, если для любого значения $x$ из этого интервала ($x \in I$) выполняется одно из двух строгих неравенств:
1. $f(x) > 0$ (функция положительна на всем промежутке).
2. $f(x) < 0$ (функция отрицательна на всем промежутке).

С геометрической точки зрения, на промежутках знакопостоянства график функции целиком находится по одну сторону от оси абсцисс (оси $Ox$): либо выше оси, если $f(x) > 0$, либо ниже оси, если $f(x) < 0$.

Точки, которые разделяют область определения функции на промежутки знакопостоянства, — это нули функции (точки, где $f(x) = 0$) и точки разрыва функции (точки, в которых функция не определена или не является непрерывной).

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, обычно используют метод интервалов, который состоит из следующих шагов:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Найти нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$.
3. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
4. Отметить на числовой оси все найденные точки (нули и точки разрыва), которые принадлежат области определения. Эти точки разобьют область определения на интервалы.
5. Определить знак функции на каждом из этих интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку внутри интервала и вычислить в ней значение функции. Знак этого значения будет таким же для всех точек данного интервала.
6. Записать ответ, перечислив промежутки, на которых $f(x) > 0$ и на которых $f(x) < 0$.

Рассмотрим пример. Найдем промежутки знакопостоянства функции $f(x) = x^2 - 4$.
Сначала найдем нули функции: $x^2 - 4 = 0$, откуда $(x-2)(x+2) = 0$. Нули функции: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Точек разрыва нет, область определения — вся числовая прямая $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Нули функции делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак функции на каждом интервале:
- В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$. $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Значит, на всем интервале $(-\infty; -2)$ функция положительна.
- В интервале $(-2; 2)$ возьмем $x = 0$. $f(0) = 0^2 - 4 = -4 < 0$. Значит, на всем интервале $(-2; 2)$ функция отрицательна.
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$. $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Значит, на всем интервале $(2; +\infty)$ функция положительна.
Таким образом, промежутками знакопостоянства являются:
• $f(x) > 0$ на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ на промежутке $(-2; 2)$.

Ответ: Промежуток знакопостоянства функции — это такой промежуток, принадлежащий области определения функции, на котором все значения функции имеют один и тот же знак (то есть функция строго больше нуля или строго меньше нуля).

3. Какую функцию называют возрастающей на некотором промежутке?

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2$ больше $x_1$, соответствующее значение функции $f(x_2)$ также будет больше значения функции $f(x_1)$.

Простыми словами, при увеличении значения аргумента $x$ (при движении вправо по оси абсцисс) значение функции $y$ также увеличивается (график функции «идет вверх»).

Формальное определение в математической записи выглядит так:
Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $I$, если для любых $x_1 \in I$ и $x_2 \in I$ из условия $x_2 > x_1$ следует неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.
С использованием кванторов это можно записать как: $\forall x_1, x_2 \in I: x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$.
Такое возрастание также называют строгим возрастанием, чтобы отличить от неубывания, где в неравенстве допускается знак равенства ($f(x_2) \geq f(x_1)$).

Например, функция $y = x^3$ является возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, так как для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_2 > x_1$, то и $x_2^3 > x_1^3$. В то же время, функция $y = x^2$ возрастает только на промежутке $[0; +\infty)$, а на промежутке $(-\infty; 0]$ она убывает. Это показывает, что свойство возрастания функции рассматривается на конкретном промежутке.

Ответ: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

4. Какую функцию называют убывающей на некотором промежутке?

Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента (независимой переменной $x$) соответствует меньшее значение функции (зависимой переменной $y$).

Это можно сформулировать в виде строгого математического определения.

Функция $y = f(x)$ называется убывающей на промежутке $I$ (являющемся подмножеством ее области определения), если для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Геометрически это означает, что график убывающей функции на данном промежутке при движении вдоль оси абсцисс слева направо "спускается" вниз.

Ответ: Функцию $y=f(x)$ называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

5. Какую функцию называют возрастающей?

Функцию $y = f(x)$ называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Простыми словами, возрастающая функция — это такая функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Геометрически это означает, что график возрастающей функции при движении по нему слева направо постоянно "идет в гору".

Достаточное условие (признак) возрастания функции:
Если производная функции $f'(x)$ положительна на некотором интервале ($f'(x) > 0$), то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Примеры возрастающих функций:

• Линейная функция $y = kx + b$ при $k > 0$, например, $y = 3x - 2$.
• Степенная функция $y = x^3$ на всей области определения.
• Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$, например, $y = 2^x$ или $y = e^x$.
• Логарифмическая функция $y = \log_a x$ при $a > 1$, например, $y = \ln x$.

Важно отметить, что данное определение описывает строго возрастающую функцию. Существует также понятие неубывающей функции, для которой при $x_2 > x_1$ выполняется нестрогое неравенство $f(x_2) \ge f(x_1)$. В большинстве школьных и вузовских курсов под термином "возрастающая" подразумевается именно "строго возрастающая".

Ответ: Функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$ или $f(x)$). Формально: для любых $x_1$ и $x_2$ из данного промежутка, если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) > f(x_1)$.

6. Какую функцию называют убывающей?

Функцию $y = f(x)$ называют убывающей на некотором промежутке $X$ (из ее области определения), если для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Геометрический смысл

График убывающей функции, если рассматривать его слева направо (в направлении увеличения $x$), всегда "идет вниз". То есть, двигаясь по графику вправо, мы будем опускаться.

Условие для дифференцируемой функции

Для функции $f(x)$, имеющей производную, существует удобный критерий для определения промежутков убывания. Если на некотором интервале $(a, b)$ производная функции отрицательна, то есть $f'(x) < 0$ для всех $x$ из этого интервала, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Строгое и нестрогое убывание

Приведенное выше определение ($f(x_2) < f(x_1)$) описывает строго убывающую функцию. Существует также понятие нестрого убывающей (или просто убывающей в некоторых разделах математики) функции, для которой при $x_2 > x_1$ выполняется условие $f(x_2) \le f(x_1)$. График такой функции может содержать горизонтальные участки ("плато"). В школьном курсе математики под термином "убывающая функция" почти всегда подразумевается именно "строго убывающая функция".

Примеры

1. Линейная функция. Функция $y = -5x + 3$ является убывающей на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Ее производная $y' = -5$, что всегда меньше нуля.

2. Показательная функция. Функция $y = a^x$ при основании $0 < a < 1$ (например, $y = (0.5)^x$) является убывающей на всей числовой оси.

3. Обратная пропорциональность. Функция $y = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Однако важно понимать, что она не является убывающей на всей своей области определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, так как, например, можно взять $x_1=-1$ и $x_2=1$. Здесь $x_2 > x_1$, но $f(x_2) = 1 > f(x_1) = -1$, что противоречит определению убывающей функции.

Ответ: Убывающей называют такую функцию, у которой большему значению аргумента из заданного промежутка соответствует меньшее значение функции. Математически это записывается так: функция $y=f(x)$ убывает на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из $X$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

254. На рисунке 21 изображён график функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

Рис. 21

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Графически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точках, где $x = -1$, $x = 2$ и $x = 4$.
Ответ: $-1; 2; 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где график функции расположен выше оси абсцисс. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервале от -1 до 2, а также для всех значений $x$, больших 4.
Ответ: при $x \in (-1; 2) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Промежутки возрастания — это интервалы, на которых при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ также увеличивается (график идет вверх). Промежутки убывания — это интервалы, на которых при увеличении $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идет вниз). Точки экстремума (локальные минимумы и максимумы) являются границами этих промежутков. Из графика определяем точки экстремума:

• Локальный минимум при $x = -2$.
• Локальный максимум при $x = 0$.
• Локальный минимум при $x = 3$.

Следовательно, функция возрастает на промежутках от локальных минимумов до локального максимума и от локального минимума до плюс бесконечности. Функция убывает на промежутках от минус бесконечности до локального минимума и от локального максимума до локального минимума.
Ответ: промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[3; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 3]$.