Номер 254, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

254. На рисунке 21 изображён график функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

Рис. 21

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

1) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Графически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точках, где $x = -1$, $x = 2$ и $x = 4$.
Ответ: $-1; 2; 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
Значения функции положительны ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где график функции расположен выше оси абсцисс. Глядя на график, мы видим, что это происходит на интервале от -1 до 2, а также для всех значений $x$, больших 4.
Ответ: при $x \in (-1; 2) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Промежутки возрастания — это интервалы, на которых при увеличении аргумента $x$ значение функции $f(x)$ также увеличивается (график идет вверх). Промежутки убывания — это интервалы, на которых при увеличении $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идет вниз). Точки экстремума (локальные минимумы и максимумы) являются границами этих промежутков. Из графика определяем точки экстремума:

• Локальный минимум при $x = -2$.
• Локальный максимум при $x = 0$.
• Локальный минимум при $x = 3$.

Следовательно, функция возрастает на промежутках от локальных минимумов до локального максимума и от локального минимума до плюс бесконечности. Функция убывает на промежутках от минус бесконечности до локального минимума и от локального максимума до локального минимума.
Ответ: промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[3; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 3]$.