Номер 2, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Поясните, что называют промежутком знакопостоянства функции.

Промежутком знакопостоянства функции называют такой промежуток из области определения функции, на котором она сохраняет свой знак, то есть принимает значения либо только положительные, либо только отрицательные.

Формально, интервал $I$ является промежутком знакопостоянства для функции $y = f(x)$, если для любого значения $x$ из этого интервала ($x \in I$) выполняется одно из двух строгих неравенств:
1. $f(x) > 0$ (функция положительна на всем промежутке).
2. $f(x) < 0$ (функция отрицательна на всем промежутке).

С геометрической точки зрения, на промежутках знакопостоянства график функции целиком находится по одну сторону от оси абсцисс (оси $Ox$): либо выше оси, если $f(x) > 0$, либо ниже оси, если $f(x) < 0$.

Точки, которые разделяют область определения функции на промежутки знакопостоянства, — это нули функции (точки, где $f(x) = 0$) и точки разрыва функции (точки, в которых функция не определена или не является непрерывной).

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, обычно используют метод интервалов, который состоит из следующих шагов:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Найти нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$.
3. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
4. Отметить на числовой оси все найденные точки (нули и точки разрыва), которые принадлежат области определения. Эти точки разобьют область определения на интервалы.
5. Определить знак функции на каждом из этих интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку внутри интервала и вычислить в ней значение функции. Знак этого значения будет таким же для всех точек данного интервала.
6. Записать ответ, перечислив промежутки, на которых $f(x) > 0$ и на которых $f(x) < 0$.

Рассмотрим пример. Найдем промежутки знакопостоянства функции $f(x) = x^2 - 4$.
Сначала найдем нули функции: $x^2 - 4 = 0$, откуда $(x-2)(x+2) = 0$. Нули функции: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Точек разрыва нет, область определения — вся числовая прямая $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Нули функции делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак функции на каждом интервале:
- В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$. $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Значит, на всем интервале $(-\infty; -2)$ функция положительна.
- В интервале $(-2; 2)$ возьмем $x = 0$. $f(0) = 0^2 - 4 = -4 < 0$. Значит, на всем интервале $(-2; 2)$ функция отрицательна.
- В интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$. $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Значит, на всем интервале $(2; +\infty)$ функция положительна.
Таким образом, промежутками знакопостоянства являются:
• $f(x) > 0$ на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
• $f(x) < 0$ на промежутке $(-2; 2)$.

Ответ: Промежуток знакопостоянства функции — это такой промежуток, принадлежащий области определения функции, на котором все значения функции имеют один и тот же знак (то есть функция строго больше нуля или строго меньше нуля).