Номер 249, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

249. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - x - 12;$

2) $-x^2 + 2x + 35;$

3) $6x^2 + 11x - 2;$

4) $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6.$

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - x - 12$.
Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -1$, $c = -12$.
Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:
$x^2 - x - 12 = 1 \cdot (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 3)$.

Рассмотрим трёхчлен $-x^2 + 2x + 35$.
Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 35$.
Найдём корни уравнения $-x^2 + 2x + 35 = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, получив $x^2 - 2x - 35 = 0$.
Вычислим дискриминант для нового уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Подставим корни в формулу разложения, используя коэффициент $a = -1$ из исходного трёхчлена:
$-x^2 + 2x + 35 = -1 \cdot (x - 7)(x - (-5)) = -(x - 7)(x + 5)$.
Ответ: $-(x - 7)(x + 5)$.

Рассмотрим трёхчлен $6x^2 + 11x - 2$.
Здесь $a = 6$, $b = 11$, $c = -2$.
Найдём корни уравнения $6x^2 + 11x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2$.
Подставим корни и коэффициент $a=6$ в формулу разложения:
$6x^2 + 11x - 2 = 6(x - \frac{1}{6})(x - (-2)) = 6(x - \frac{1}{6})(x + 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесём множитель 6 в первую скобку:
$6(x - \frac{1}{6}) = 6x - 6 \cdot \frac{1}{6} = 6x - 1$.
Получаем итоговое разложение: $(6x - 1)(x + 2)$.
Ответ: $(6x - 1)(x + 2)$.

Рассмотрим трёхчлен $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6$.
Здесь $a = \frac{2}{3}$, $b = 3$, $c = -6$.
Найдём корни уравнения $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6 = 0$. Умножим уравнение на 3, чтобы работать с целыми коэффициентами: $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$.
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
Подставим корни и коэффициент $a = \frac{2}{3}$ из исходного трёхчлена в формулу разложения:
$\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6 = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x - (-6)) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6)$.
Этот вид является правильным ответом. Также можно внести множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби внутри неё:
$\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6) = \frac{1}{3} \cdot 2(x - \frac{3}{2})(x + 6) = \frac{1}{3}(2x - 3)(x + 6)$.
Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6)$ (или $\frac{1}{3}(2x - 3)(x + 6)$).