Номер 247, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

247. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$;

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$

Область определения:

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 4 \neq 0$.

Решая это неравенство, получаем $x \neq -4$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4. В виде интервалов: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x+4}$.

При условии, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$:

$f(x) = x - 4$.

Графиком функции $y = x - 4$ является прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = -4$, на графике этой прямой будет "выколотая" точка.

Найдем координаты этой точки. Абсцисса $x = -4$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенное выражение: $y = -4 - 4 = -8$.

Следовательно, график функции $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$ — это прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(-4; -8)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. График — прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(-4; -8)$.

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$

Область определения:

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 6x \neq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) \neq 0$.

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $12x - 72 = 12(x - 6)$.

Знаменатель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.

Функция принимает вид: $f(x) = \frac{12(x-6)}{x(x-6)}$.

При условии, что $x \neq 6$ (и $x \neq 0$), можем сократить дробь на $(x-6)$:

$f(x) = \frac{12}{x}$.

Графиком функции $y = \frac{12}{x}$ является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Точка $x=0$ уже исключена из области определения и является вертикальной асимптотой.

Точка $x=6$ также исключена из области определения, поэтому на графике гиперболы будет выколотая точка.

Найдем координаты этой точки: абсцисса $x = 6$. Подставим в упрощенную функцию, чтобы найти ординату: $y = \frac{12}{6} = 2$.

Таким образом, график функции $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой $(6; 2)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$. График — гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой $(6; 2)$.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$

Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$.

Решаем уравнение $x^2 = 9$, получаем $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

В области определения функции числитель и знаменатель равны и не равны нулю. Поэтому дробь можно сократить:

$f(x) = 1$ при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Графиком функции $y = 1$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 1)$ и параллельная оси Ox.

Так как исходная функция не определена в точках $x = -3$ и $x = 3$, на этой прямой будут две выколотые точки.

Ордината обеих точек равна 1. Координаты выколотых точек: $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.

Следовательно, график функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$ — это прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. График — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.