Номер 244, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

244. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 1};$

2) $f(x) = 5 - x^2;$

3) $f(x) = -7;$

4) $f(x) = |x| + 2;$

5) $f(x) = \sqrt{-x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}.$

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x-1}$. Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Сначала найдем область определения. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$. Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $f(x) = \sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Наименьшее значение функция принимает при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=1$: $f(1) = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$. При увеличении $x$, значение $x-1$ растет, и, следовательно, $\sqrt{x-1}$ также растет. Функция является возрастающей и не ограничена сверху. Таким образом, область значений функции — это все числа от 0 включительно до $+\infty$.
Ответ: $[0, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 5 - x^2$. Рассмотрим выражение $x^2$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Умножив неравенство на -1, получаем: $-x^2 \le 0$. Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства: $5 - x^2 \le 5$. Это означает, что $f(x) \le 5$ для любого $x$. Наибольшее значение, равное 5, функция достигает при $x=0$. Так как $x^2$ может принимать любое неотрицательное значение, выражение $5-x^2$ может принимать любое значение, меньшее или равное 5. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до 5 включительно.
Ответ: $(-\infty, 5]$.

3) Для функции $f(x) = -7$. Эта функция является постоянной (константой). Для любого значения аргумента $x$ из области определения (которая является множеством всех действительных чисел), значение функции всегда равно -7. Следовательно, область значений функции состоит из одного единственного числа.
Ответ: $\{-7\}$.

4) Для функции $f(x) = |x| + 2$. Значение модуля любого действительного числа $x$ является неотрицательным: $|x| \ge 0$. Прибавим 2 к обеим частям этого неравенства: $|x| + 2 \ge 2$. Это означает, что $f(x) \ge 2$ для любого $x$. Наименьшее значение, равное 2, функция достигает при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$, значение функции также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это все числа от 2 включительно до $+\infty$.
Ответ: $[2, +\infty)$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{-x^2}$. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $x^2 \le 0$ является $x^2=0$, что означает $x=0$. Итак, область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой единственной точке: $f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$. Следовательно, область значений функции состоит из одного числа 0.
Ответ: $\{0\}$.

6) Для функции $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$. Найдем область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$ Решая систему, получаем: $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases}$ Единственное число, которое удовлетворяет обоим неравенствам, — это $x=2$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=2$. Вычислим значение функции в этой точке: $f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$. Так как функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.
Ответ: $\{0\}$.