Номер 242, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

242. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \frac{x + 2}{x - 5};$

2) $f(x) = \frac{x}{|x| - 7};$

3) $f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x^2 - 9};$

4) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}.$;

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{x+2}{x-5}$ находится из системы двух условий. Первое: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Второе: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, $x-5 \ne 0$, откуда $x \ne 5$. Решением системы $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ne 5 \end{cases}$ является множество всех чисел, больших или равных 2, за исключением 5. В виде интервалов это записывается как $[2; 5) \cup (5; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [2; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x}{|x|-7}$ область определения находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|x|-7 \ne 0$. Это неравенство равносильно условию $|x| \ne 7$, что означает $x \ne 7$ и $x \ne -7$. Таким образом, область определения функции — это вся числовая прямая, за исключением точек -7 и 7. В виде интервалов это $(-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x^2-9}$ должны выполняться два условия. Во-первых, подкоренное выражение неотрицательно: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю: $x^2-9 \ne 0$. Разложив знаменатель на множители, получаем $(x-3)(x+3) \ne 0$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne -3$. Совместим условия: из $x \ge -3$ и $x \ne -3$ следует $x > -3$. Также необходимо исключить $x=3$. Итоговая область определения — это объединение интервалов $(-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2-7x+6}$ определяется системой ограничений. Для первого слагаемого необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным ($x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$) и выражение под корнем в знаменателе было строго положительным ($x+2 > 0 \implies x > -2$). Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2-7x+6 \ne 0$. Корнями уравнения $x^2-7x+6=0$ являются $x=1$ и $x=6$, поэтому $x \ne 1$ и $x \ne 6$. Объединим все условия: $\begin{cases} x \ge 4 \\ x > -2 \\ x \ne 1 \\ x \ne 6 \end{cases}$. Пересечение $x \ge 4$ и $x > -2$ дает $x \ge 4$. Условие $x \ne 1$ для этого промежутка выполняется автоматически. Остается лишь исключить $x=6$. Таким образом, получаем $[4; 6) \cup (6; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [4; 6) \cup (6; +\infty)$.