Номер 237, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

237. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{1}{6}x - 7;$

2) $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5};$

3) $g(x) = 9 - x^2;$

4) $\varphi(x) = x^2 + 2x - 3.$

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить в уравнение функции значение $x=0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты точки пересечения будут $(0, y)$.

2. Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить в уравнение функции значение $y=0$ (то есть, приравнять всю функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты точек пересечения будут $(x, 0)$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}x - 7$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = \frac{1}{6} \cdot 0 - 7 = -7$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -7)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, приравняв $f(x)$ к нулю:
$\frac{1}{6}x - 7 = 0$
$\frac{1}{6}x = 7$
$x = 7 \cdot 6 = 42$.
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(42, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(42, 0)$, с осью Oy: $(0, -7)$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5}$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = \frac{20 + 4 \cdot 0}{3 \cdot 0 - 5} = \frac{20}{-5} = -4$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -4)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, приравняв $f(x)$ к нулю:
$\frac{20 + 4x}{3x - 5} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$20 + 4x = 0$
$4x = -20$
$x = -5$.
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этом значении $x$:
$3(-5) - 5 = -15 - 5 = -20 \neq 0$.
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-5, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-5, 0)$, с осью Oy: $(0, -4)$.

3) Дана функция $g(x) = 9 - x^2$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 9 - 0^2 = 9$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 9)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $g(x)$ к нулю:
$9 - x^2 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, с осью Oy: $(0, 9)$.

4) Дана функция $\varphi(x) = x^2 + 2x - 3$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -3)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $\varphi(x)$ к нулю:
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, с осью Oy: $(0, -3)$.